Treść

Znaleźć wartości reakcji w punktach podparcia oraz kąt nachylenia reakcji A względem pionu \varphi. Dane: a, G, l.

Rozwiązanie

Metoda analityczna

Kierunki działania ciężaru G oraz reakcji w punkcie B są oczywiste. W celu wyznaczanie kierunku działania reakcji w punkcie A skorzystano z twierdzenia o trzech siłach.

\begin{array}{ll} \sum{F_x}=0 & R_A\sin\varphi-R_B=0\\ \sum{F_y}=0 & R_A\cos\varphi-G=0\\ \end{array}

Jak łatwo zauważyć brakuje nam jednego równania. W tej chwili mamy do dyspozycji dwa równania oraz trzy niewiadome – dwie reakcje oraz kąt. Aby rozwikłać ten problem musimy zapisać równanie które wynika z twierdzenia o trzech siłach. W tym celu przyjrzyjmy się uważniej trójkątom ADB oraz AEB.

\begin{aligned} &a^2+h^2=l^2 \space\rarr\space h=\sqrt{l^2-a^2}\\ &\tan\varphi=\frac{a/2}{h}=\frac{a}{2\sqrt{l^2-a^2}}\\ &\varphi=\arctan{\frac{a}{2\sqrt{l^2-a^2}}}\\ \end{aligned}

Gdyby zadanie było podane “na liczbach” moglibyśmy w tym momencie wyznaczyć liczbowo wartość kąta, następnie wyliczyć jego sinus i kosinus oraz podstawić do równań statyki. Ponieważ jednak mamy zadanie podane “na literkach” zapiszemy dodatkowo:

\begin{aligned} &h^2+\frac{a^2}{4}=x^2 \space\rarr\space x=\sqrt{h^2+\frac{a^2}{4}}=\sqrt{l^2-a^2+\frac{a^2}{4}}=\sqrt{l^2-\frac{3}{4}a^2}\\ &\cos{\varphi}=\frac{h}{x}=\frac{\sqrt{l^2-a^2}}{\sqrt{l^2-\frac{3}{4}a^2}}=\sqrt{\frac{l^2-a^2}{l^2-\frac{3}{4}a^2}}\\ \end{aligned}

Podstawiając do równań statyki dostajemy:

\begin{aligned} &R_A=\frac{G}{cos\varphi}=\frac{G}{\sqrt{\frac{l^2-a^2}{l^2-\frac{3}{4}a^2}}}\\ &R_B=R_A\sin{\varphi}=\frac{G}{cos\varphi}\sin{\varphi}=G\tan{\varphi}=\frac{Ga}{2\sqrt{l^2-a^2}}\\ \end{aligned}

Metoda graficzna

Obliczenia wartości kąta \varphi oraz jego sinusa i kosinusa pozostają bez zmian. Z wieloboku sił możemy zapisać np.:

\begin{aligned} &\cos{\varphi}=\frac{G}{R_A} \space\rarr\space R_A=\frac{G}{\cos\varphi}\\ &\tan{\varphi}=\frac{R_B}{G} \space\rarr\space R_B=G\tan\varphi\\ \end{aligned}

Oczywiście nie jest to jedyna możliwość, równie dobrze moglibyśmy zapisać:

\begin{aligned} &\tan{\varphi}=\frac{R_B}{G} \space\rarr\space R_B=G\tan\varphi\\ &R_A^2=R_B^2+G^2 \space\rarr\space R_A=\sqrt{G^2\tan^2{\varphi}+G^2}=G\sqrt{\tan^2{\varphi}+1}\\ \end{aligned}

I po niewielkich przekształceniach dostać dokładnie taką samą wersję odpowiedzi

R_A=G\sqrt{\tan^2{\varphi}+1}=G\sqrt{\frac{\sin^2\varphi}{\cos^2\varphi}+1}=G\sqrt{\frac{\sin^2\varphi+\cos^2\varphi}{\cos^2\varphi}}=\frac{G}{\cos\varphi}
0 0 vote
Article Rating
Subscribe
Powiadom o
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments