Treść

mimosrod006_00

Dla podanego przekroju obciążonego mimośrodowo siłą ściskającą podłużną znaleźć:
– naprężenia w punktach charakterystycznych przekroju
– narysować bryłę naprężeń (w aksonometrii)
– podać równanie i narysować oś obojętną
– wyznaczyć rdzeń przekroju

Rozwiązanie

Charakterystyki geometryczne, centralne momenty bezwładności

mimosrod006_01

Figura 1 – większy prostokąt, Figura 2 – mniejszy prostokąt

\begin{aligned} &A_1 =180 cm^2\\ &A_2 =48 cm^2\\ &A=A_1 +A_2=228 cm^2\\ &y_1 =6 cm\\ &y_2 =15 cm\\ &y_c=\frac{y_1 ⋅A_1+ y_2 ⋅A_2}{A_1 +A_2}=7,89 cm\\ \end{aligned}
mimosrod006_02
\begin{aligned} &I_{xc}=\frac{15\cdot 12^3}{12}+A_1\cdot (y_1-y_c)^2+\frac{8\cdot 6^3}{12}+A_2\cdot (y_2-y_c)^2=5373,47 cm^4\\ &I_{yc}=\frac{12\cdot 15^3}{12}+\frac{6\cdot 8^3}{12}=3631 cm^4\\ \end{aligned}

Siła w punkcie D skierowana „za kartkę” (ściskająca) robi momenty Mx i My o zwrotach jak na rysunku poniżej (reguła prawej dłoni).

mimosrod006_03

Wyznaczenie równania osi obojętnej

\begin{aligned} &N=-60 kN\\ &M_y=-|N|\cdot 0,075=-4,5 kNm\\ &M_x=-|N|\cdot |(0,12-0,0789)|=-2,466 kNm\\ &\sigma_x=\frac{-60\cdot 10^3}{228\cdot 10^{-4}}-\frac{2,466\cdot 10^3}{5373,37\cdot 10^{-8}}y-\frac{4,5\cdot 10^3}{3631\cdot 10^{-8}}x=0\\ &y=-2,7x-5,7\\ \end{aligned}

Dwa dowolne punkty definiują prostą (oś obojętną).

\begin{aligned} &x=1, y=-8,4\\ &x=-1, y=-3\\ \end{aligned}
mimosrod006_04

Naprężenia w punktach charakterystycznych

\sigma=\frac{-60\cdot 10^3}{0.023}-\frac{2,466\cdot 10^3}{5373,37\cdot 10^{-8}}y-\frac{4,5\cdot 10^3}{3631\cdot 10^{-8}}x

Punkt A (x=-4 cm, y=10,11 cm)

\sigma=-2,29 MPa

Punkt B (x=4 cm, y=10,11 cm)

\sigma=-12,21 MPa

Punkt C (x=4 cm, y=(12-7,89) cm)

\sigma=-9,45 MPa

Punkt D (x=7,5 cm, y=(12-7,89) cm)

\sigma=-13,79 MPa

Punkt E (x=7,5 cm, y=-7,89 cm)

\sigma=-8,28 MPa

Punkt F (x=-7,5 cm, y=-7,89 cm)

\sigma=10,31 MPa

Punkt G (x=-7,5 cm, y=(12-7,89) cm

\sigma=4,8 MPa

Punkt H (x=-4 cm, y=(12-7,89) cm)

\sigma=0,46 MPa

Bryła naprężeń

mimosrod006_05

Rdzeń przekroju

Zaznaczamy styczne do przekroju (fioletowo), dla każdej stycznej wyznaczymy jeden punkt narożny rdzenia przekroju.

mimosrod006_06
\begin{aligned} &i_x^2=\frac{I_{xc}}{A}=23,57 cm^2\\ &i_y^2=\frac{I_{yc}}{A}=15,93 cm^2\\ \end{aligned}

Będziemy korzystać między innymi z równania prostej przez dwa punkty:

\begin{aligned} &y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot (x-x_1)\\ \end{aligned}

oś obojętna D-E

\begin{aligned} &a_y=\infty\\ &a_x=7,5 cm\\ &y=-\frac{i_x}{a_y}=0 cm\\ &x=-\frac{i_y}{a_x}=-2,12 cm\\ \end{aligned}

oś obojętna E-F

\begin{aligned} &a_y=-7,89 cm\\ &a_x=\infty\\ &y=-\frac{i_x}{a_y}=2,99 cm\\ &x=-\frac{i_y}{a_x}=0 cm\\ \end{aligned}

oś obojętna F-G

\begin{aligned} &a_y=\infty\\ &a_x=-7,5 cm\\ &y=-\frac{i_x}{a_y}=0 cm\\ &x=-\frac{i_y}{a_x}=2,12 cm\\ \end{aligned}

oś obojętna G-A

\begin{aligned} &y-y_G=\frac{y_A-y_G}{x_A-x_G}\cdot (x-x_G)\\ &x_G=-7,5 cm, y_G=4,11 cm\\ &x_A=-4 cm, y_A=10,11 cm\\ &y=1,71x+16,96\\ &a_y=16,96 cm\\ &a_x=-9,89 cm\\ &y=-\frac{i_x}{a_y}=-1,39 cm\\ &x=-\frac{i_y}{a_x}=1,61 cm\\ \end{aligned}

oś obojętna A-B

\begin{aligned} &a_y=10,11 cm\\ &a_x=\infty\\ &y=-\frac{i_x}{a_y}=-2,33 cm\\ &x=-\frac{i_y}{a_x}=0 cm\\ \end{aligned}

oś obojętna B-D

\begin{aligned} &x_B=4 cm, y_B=10,11 cm\\ &x_D=7,5 cm, y_D=4,11 cm\\ &y=-1,71x+16,96\\ &a_y=16,96 cm\\ &a_x=9,89 cm\\ &y=-\frac{i_x}{a_y}=-1,39 cm\\ &x=-\frac{i_y}{a_x}=-1,61 cm\\ \end{aligned}

Rdzeń przekroju

mimosrod006_07
0 0 vote
Article Rating
Subscribe
Powiadom o
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments