Treść – Przykład 1

Znaleźć średnicę pręta stalowego o długości 1 m, jeżeli jest on rozciągany siłą P=65 kN, a jego wydłużenie \Delta l=1,2\ mm. E=200\cdot 10^9\ Pa

Rozwiązanie – Przykład 1

\begin{aligned} &\Delta l=\frac{N\cdot l}{E\cdot A}\\ &l=1\ m\\ &N=65\cdot 10^3\ N\\ &\Delta l=1,2\cdot 10^{-3}\ m\\ \end{aligned}

Mamy znaleźć średnicę przekroju, więc przekrój jest kołowy, a więc pole obliczamy jako:

\begin{aligned} &A=\frac{\pi d^2}{4}\\ \end{aligned}

przekształcamy wzór i podstawiamy dane liczbowe, obliczamy średnicę

\begin{aligned} &1,2\cdot 10^{-3}=\frac{65\cdot 10^3\cdot 1}{200\cdot 10^9\cdot \frac{\pi d^2}{4}}\\ &1,2\cdot 10^{-3}=\frac{260\cdot 10^3}{200\cdot 10^9\cdot \pi\cdot d^2}\ \ \ \ \ |\cdot d^2\ \ \ :(1,2\cdot 10^{-3})\\ &d^2=\frac{260\cdot 10^3}{200\cdot 10^9\cdot \pi\cdot 1,2\cdot 10^{-3}}\\ &d=\sqrt{\frac{260\cdot 10^3}{200\cdot 10^9\cdot \pi\cdot 1,2\cdot 10^{-3}}}\\ &d=0,0185\ m\\ &d=1,85\ cm\\ \end{aligned}

Treść – Przykład 2

Obliczyć minimalną średnicę pręta zbrojeniowego ze stali o wytrzymałości obliczeniowej R=205 MPa, rozciąganego siłą N=10 kN.

Rozwiązanie – Przykład 2

Z warunku wytrzymałości:

\begin{aligned}\\ &\sigma=\frac{N}{A}\le R\\ \end{aligned} \begin{aligned}\\ &A=\frac{\pi d^2}{4}\\ \end{aligned} \begin{aligned}\\ &N=10\cdot 10^3\ N\\ &R=205\cdot 10^6\ Pa\\ \end{aligned}

Podstawiamy dane liczbowe i przekształcamy równanie tak, aby obliczyć średnicę

\begin{aligned}\\ &\frac{10\cdot 10^3}{\frac{\pi d^2}{4}}\le 205\cdot 10^6\\ &\frac{40\cdot 10^3}{\pi d^2}\le 205\cdot 10^6\ \ \ \ \ |\cdot \pi^2\ \ \ \ :(205\cdot 10^6)\\ &\frac{40\cdot 10^3}{\pi\cdot 205\cdot 10^6}\le d^2\\ &d\ge \sqrt{\frac{40\cdot 10^3}{\pi\cdot 205\cdot 10^6}}\\ &d\ge 7,88\cdot 10^{-3}\ m\\ &d\ge 7,88\ mm\\ &d=8\ mm\\ \end{aligned}

Treść – Przykład 3

Przy jakiej wartości siły ściskające P powstało względne skrócenie \varepsilon=-0,0007 pręta stalowego o polu przekroju poprzecznego F=10\ cm^2? Dane: E=200\ GPa

Rozwiązanie – Przykład 3

Zależność między naprężeniami i odkształceniami wiąże moduł sprężystości podłużnej (moduł Younga) w następujący sposób: \sigma = \epsilon \cdot E. Naprężenia według znanego wzoru:

\begin{aligned}\\ &\sigma=\frac{P}{F}\\ \end{aligned}

Wykorzystując obydwie zależności obliczamy:

\begin{aligned}\\ &P=E\cdot \varepsilon\cdot F\\ \end{aligned} \begin{aligned}\\ &P=200\cdot 10^9\cdot (-0,0007)\cdot 10\cdot 10^{-4}\\ &P=-140000\ N=-140\ kN\\ \end{aligned}

Treść – Przykład 4

Pręt stalowy o średnicy d=32 mm i długości l=35 cm poddano rozciąganiu siłą P=135 kN. Pomiary odkształceń wykazały zmniejszenie średnicy o \Delta d=0,0062\ mm i wydłużenie \Delta l=0,04\ mm na pomiarowym odcinku o długości L=5 cm. Wyznaczyć dla materiału pręta moduł sprężystości E i liczbę Poissona \nu.

Rozwiązanie – Przykład 4

\begin{aligned}\\ &d=32\ mm=32\cdot 10^-3\ m\\ &l=35\ cm=0,35\ m\\ &P=135\cdot 10^3\ N\\ &\Delta d=0,0062\ mm\\ &\Delta l=0,04\ mm\\ &L=5\ cm \\ \end{aligned}

Wydłużenie całkowite:

\begin{aligned}\\ &\Delta l_c=7\cdot \Delta l=0,28\ mm\\ \end{aligned}

Wydłużenie jest powiększone 7 razy, bo próbka pomiarowa miała długość 5 cm

Przekształcając wzór na wydłużenie obliczamy moduł Younga

\begin{aligned}\\ &\Delta l_c=\frac{P\cdot l}{E\cdot A}\\ &A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi\cdot (32\cdot 10^{-3})^2}{4}=8,04\cdot 10^{-4}\ m^2\\ &E=\frac{135\cdot 10^3\cdot 0,35}{0,28\cdot 10^-3\cdot 8,04\cdot 10^{-4}}\\ &E=2,1\cdot 10^{11}\ Pa\\ \end{aligned}

Stosunek odkształcenia poprzecznego do podłużnego przy osiowym stanie naprężenia charakteryzuje współczynnik Poissona w następujący sposób: \nu =-\frac{\epsilon_n}{\epsilon_m} Odkształcenie podłużne: \frac{\Delta_l}{l} Odkształcenie poprzeczne: \frac{-\delta_d}{d} Podstawiamy do wzoru na współczynnik Poissona:

\begin{aligned}\\ &\nu=\frac{\Delta d \cdot l}{\Delta l\cdot d}=\frac{0,0062\cdot 50}{0,04\cdot 32}=0,242\\ \end{aligned}

0 0 vote
Article Rating
Subscribe
Powiadom o
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments