Treść

Dwustopniowy pręt został trwale utwierdzony końcem A i obciążony siłami P oraz 2P jak na rysunku. Obliczyć średnicę obu prętów, znając naprężenia dopuszczalne na ściskanie i rozciąganie.Narysować wykresy sił wewnętrznych, naprężeń normalnych oraz wydłużeń i przemieszczeń pręta. Dane: P=10 kN, E=2,1\cdot 10^{5} MPa, a=1 m, k_{r}=60 MPa, k_{c}=80 MPa

Rozwiązanie

Rozwiązanie YT

Rozwiązanie klasyczne

\begin{aligned}\\ &\sum{X}=0\\ &R_{A}+2P-P=0\\ &R_{A}=-P\\ \\ &N_{1}=-P=-10 \ kN\\ &N_{2}=-P=-10 \ kN\\ &N_{3}=-P+2P=P=10 \ kN\\ \\ \\ &\sigma=|\frac{N}{A}|\le k_{r},k_{c}\\ \\ \\ \end{aligned}

Ściskanie

\begin{aligned}\\ &\frac{10\cdot 10^{3}}{A}\le 80\cdot 10^{6}\\ &A\ge \frac{10\cdot 10^{3}}{80\cdot 10^{6}}\\ &A\ge 1,25\cdot 10^{-4} \ [m^{2}]\\ \end{aligned}

Rozciąganie

\begin{aligned}\\ &\frac{10\cdot 10{3}}{2A}\le 60\cdot 10^{6}\\ &2A\ge \frac{10\cdot 10^{3}}{60\cdot 10^{6}}\\ &A\ge 8,33\cdot 10^{-5}=0,833\cdot 10^{-4} \ [m^{2}] \end{aligned} \begin{aligned}\\ &A\ge 1,25\cdot 10^{-4}\\ &\frac{\pi d^{2}}{4}\ge 1,25\cdot 10^{-4}\\ &d\ge \sqrt\frac{4\cdot 1,25\cdot 10^{-4}}{\pi}\\ &d\ge 0,0126\\ &d=0,013\\ \\ &A=\frac{\pi\cdot 0,013^{2}}{4}=1,327\cdot 10^{-4}\\ \end{aligned} \begin{aligned}\\ &\sigma_{1}=\frac{N_{1}}{A}=-\frac{10\cdot 10^{3}}{1,327\cdot 10^{-4}}=-75,36 \ MPa\\ &\sigma_{2}=\frac{N_{2}}{2A}=-\frac{10\cdot 10^{3}}{2\cdot 1,327\cdot 10^{-4}}=-37,68 \ MPa\\ &\sigma_{3}=\frac{N_{3}}{2A}=\frac{10\cdot 10^{3}}{2\cdot 1,327\cdot 10^{-4}}=37,68 \ MPa\\ \end{aligned} \begin{aligned}\\ &\Delta l=\frac{N\cdot l}{E\cdot A}\\ &\Delta l_{1}=\frac{N_{1}\cdot l_{1}}{E\cdot A}=\frac{-10\cdot 10^{3}\cdot 2\cdot 1}{2,1\cdot 10^{11}\cdot 1,327\cdot 10^{-4}}=-7,18\cdot 10^{-4} \ [m]=-7,18\cdot 10^{-4} \ [mm]=-0,718 \ [mm]\\ &\Delta l_{1}=\frac{N_{1}\cdot l_{1}}{E\cdot 2A}=\frac{-10\cdot 10^{3}\cdot 1\cdot 1}{2,1\cdot 10^{11}\cdot 2\cdot 1,327\cdot 10^{-4}}=-1,79\cdot 10^{-4} \ [m]=-0,179 \ [mm]\\ &\Delta l_{1}=\frac{N_{1}\cdot l_{1}}{E\cdot 2A}=\frac{10\cdot 10^{3}\cdot 2\cdot 1}{2,1\cdot 10^{11}\cdot 2\cdot 1,327\cdot 10^{-4}}=1,79\cdot 10^{-4} \ [m]=0,179 \ [mm]\\ \end{aligned} \begin{aligned}\\ &N_{1}=10 \ kN\\ &N_{2}=-10 \ kN\\ &N_{3}=10 \ kN\\ &\sigma_{1}=-75,36 \ MPa\\ &\sigma_{2}=-37,68 \ MPa\\ &\sigma_{3}=37,68 \ MPa\\ &\Delta l_{3}=0,179 \ mm\\ &\Delta l_{2}=-0,179 \ mm\\ &\Delta l_{1}=-0,718 \ mm\\ &u_{III}=\Delta l_{3}=0,179 \ mm\\ &u_{II}=\Delta l_{3}+\Delta l_{2}=0,179-0,179=0 \ mm\\ &u_{I}=\Delta l_{3}+\Delta l_{2}+\Delta l_{1}=-0,718 \ mm\\ \end{aligned}
statycznie_wyznaczalne016_01
0 0 vote
Article Rating
Subscribe
Powiadom o
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments