Powrót do: Skręcanie – statycznie wyznaczalne
Treść
Obliczyć największą wartość momentu M, jakim można obciążyć wał przedstawiony na poniższym rysunku oraz całkowity kąt skręcenia wału.
Dane: d, l, G, k_s.
Rozwiązanie
Wersja YT
Wersja klasyczna
Zachęcamy do obejrzenia rozwiązania tego przykładu (jak i pozostałych) na naszym kanale YouTube. Wyjaśniam tam jak od początku do końca należy rozwiązać to zadanie. Obejrzenie tego filmiku pomoże Wam również zrozumieć pozostałe przykłady na naszej stronie.
\begin{aligned}\\ &\sum M=0\\ &M_A-3M-M=0\\ &M_A=4M\\ \\ &M_{AB}=4M\\ &M_{BC}=M\\ &M_{CD}=M\\ \end{aligned}Warunek wytrzymałościowy
\begin{aligned}\\ &\tau_{max}\ge k_s\\ &\tau=\frac{M_S}{W_S}\\ \\ &W_{AB}=W_{BC}=\frac{\pi \cdot (2d)^3}{16}=\frac{\pi \cdot d^3}{2}\\ &W_{CD}=\frac{\pi \cdot ((2d)^4-d^4)}{16\cdot (2d)}=\frac{15\cdot \pi \cdot d^3}{32}\\ \\ &\tau_{AB}=\frac{4M}{\frac{\pi \cdot d^3}{2}}=\frac{8M}{\pi \cdot d^3}\\ &\tau_{AB}=\frac{M}{\frac{15\cdot \pi \cdot d^3}{32}}=\frac{32M}{15\cdot \pi \cdot d^3}\\ \\ &\tau_{max}=\tau_{AB}\\ &\frac{8M}{\pi \cdot d^3}\le k_s \Rightarrow M\le \frac{k_s\cdot \pi \cdot d^3}{8}\\ \\ &\varphi=\frac{M_S\cdot l}{G\cdot I}\\ &I_{AB}=\frac{\pi \cdot (2d)^4}{32}=\frac{\pi \cdot d^4}{2}\\ &I_{CD}=\frac{\pi \cdot ((2d)^4-d^4)}{32}=\frac{15\pi \cdot d^4}{32}\\ \\ &\varphi_{AB}=\frac{4M\cdot l}{G\cdot \frac{\pi d^4}{2}}=\frac{8M\cdot l}{G\cdot \pi d^4}\\ &\varphi_{BC}=\frac{M\cdot l}{G\cdot \frac{\pi d^4}{2}}=\frac{2M\cdot l}{G\cdot \pi d^4}\\ &\varphi_{CD}=\frac{M\cdot l}{G\cdot \frac{15 \pi d^4}{32}}=\frac{32M\cdot l}{15G\cdot \pi d^4}\\ &\varphi_C=\varphi_{AB}+\varphi_{BC}+\varphi_{CD}\\ &\varphi_C=\frac{8M\cdot l}{G\cdot \pi d^4}+\frac{2M\cdot l}{G\cdot \pi d^4}+\frac{32M\cdot l}{15G\cdot \pi d^4}\\ &\varphi_C=\frac{182Ml}{15G\pi d^4} \end{aligned}Źródło (temat):
Niezgodziński Michał E., Tadeusz Niezgodziński, Zadania z wytrzymałości materiałów, WNT, Warszawa 2002, Przykład 5.6 s. 68