Temat

Dla pełnej tarczy obciążonej na zewnętrznym promieniu ciśnieniem rozciągającym p_z=1/3 k_r obliczyć dopuszczalną prędkość kątową stosując hipotezę Hubera – Misesa – Hencky’ego. Dane: p_z=1/3 k_r, b,γ,ν.

Rozwiązanie

\begin{aligned} &σ<em>r=A-\frac{B}{r^2} -\frac{3+ν}{8g} γω^2 r^2 &(1)\\ &σ</em>φ=A+\frac{B}{r^2} -\frac{1+3ν}{8g} γω^2 r^2 &(2) \end{aligned}

Warunki brzegowe:

\begin{aligned} &σ<em>r (0)=σ</em>φ (0) &(3)\\ &σ_r (b)=p_z &(4)\\ \end{aligned}

Z równania (2) i (3):

\begin{aligned} &σ<em>r r^2=Ar^2-B-\frac{3+ν}{8g γω^2 r^4}\\ &σ</em>φ r^2=Ar^2+B-\frac{1+3ν}{8g γω^2 r^4}\\ \end{aligned}

Odejmując stronami:

\begin{aligned} &σ<em>r r^2-σ</em>φ r^2=-2B-(3+ν)/8g γω^2 r^4+\frac{1+3ν}{8g γω^2 r^4}\\ &B=0\\ \end{aligned}

Z równania (1) i (4):

\begin{aligned} &A-\frac{3+ν}{8g γω^2 b^2}=p_z\\ &A=p_z+\frac{3+ν}{8g γω^2 b^2}\\ \end{aligned}

Podstawiając do równania (1):

\begin{aligned} &σ_r=p_z+\frac{3+ν}{8g γω^2 b^2}-\frac{3+ν}{8g γω^2 r^2}\\ &σ_r=p_z+(3+ν)/8g γω^2 (b^2-r^2 )\\ \end{aligned}

Naprężenia zredukowane:

\begin{aligned} &\sigma_{red^{HMH}}=\sqrt{σ_r^2-σ_r σ</em>φ+σ_φ^2 } \end{aligned}

Wartość maksymalna dla r=0:

\begin{aligned} &\sigma_{red^{HMH}}=σ_r (0)=A=p_z+(3+ν)/8g γω^2 b^2\\ \end{aligned}

Warunek:

\begin{aligned} &σ_{red}^{HMH}≤k_r\\ &p_z+\frac{3+ν}{8g} γω^2 b^2≤k_r\\ &\frac{1}{3} k_r+\frac{3+ν}{8g} γω^2 b^2≤k_r\\ &\frac{3+ν}{8g} γω^2 b^2≤2/3 k_r\\ &ω^2≤\frac{2}{3} k_r \frac{8g}{(3+ν)γb^2} ) \\ &ω≤sqrt{\frac{16gk_r}{3(3+ν)γb^2}}\\ \end{aligned}
0 0 vote
Article Rating
Subscribe
Powiadom o
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments