Wzór różnicowy jest kombinacją liniową wszystkich stopni swobody:

\begin{aligned} u_2^{\prime \prime \prime}=\alpha \cdot u_1+\beta \cdot u_2+\gamma \cdot u_3+\delta \cdot u_3^{\prime} \end{aligned}

Jak widać możemy wyznaczyć 4 współczynniki, więc rozwinięcie będzie możliwe do 4 elementu szeregu Taylora, czyli do 3 pochodnej

Poszczególny elementy wg rozwinięcia w szereg Taylora:

\begin{aligned} u_1 &= u_2 + \frac{(0-h)}{1}u'_2 + \frac{(0-h)^2}{1 \cdot 2}u''_2 + \frac{(0-h)^3}{1 \cdot 2 \cdot 3}u'''_2 \\ u_1 &= u_2 - h \cdot u'_2 + \frac{1}{2}(-h)^2 u''_2 + \frac{1}{6}(-h)^3 u'''_2 \\ u'_1 &= u'_2 - h \cdot u''_2 + \frac{1}{2}(-h)^2 u'''_2 \\ u_3 &= u_2 + \frac{(2h-h)}{1}u'_2 + \frac{(2h-h)^2}{1 \cdot 2}u''_2 + \frac{(2h-h)^3}{1 \cdot 2 \cdot 3}u'''_2 \\ u_3 &= u_2 + h \cdot u'_2 + \frac{1}{2}h^2 u''_2 + \frac{1}{6}h^3 u'''_2 \end{aligned}

Podstawiamy i grupujemy:

\begin{aligned} u'''_2 &= \alpha \cdot \left( u_2 - h \cdot u'_2 + \frac{1}{2}(-h)^2 \cdot u''_2 + \frac{1}{6}(-h)^3 \cdot u'''_2 \right) \\ &+ \beta \cdot \left( u'_2 - h \cdot u''_2 + \frac{1}{2}(-h)^2 \cdot u'''_2 \right) \\ &+ \gamma \cdot u_2 + \delta \cdot \left( u_2 + h \cdot u'_2 + \frac{1}{2} h^2 \cdot u''_2 + \frac{1}{6} h^3 \cdot u'''_2 \right) \\ u'''_2 &= u'''_2 - \frac{h^3 \cdot \delta + 3 \cdot \beta \cdot h^2 + \alpha \cdot h^3}{6} \\ &+ u''_2 \cdot \frac{h^2 \cdot \delta + \alpha \cdot h^2 - 2 \cdot \beta \cdot h}{2} \\ &+ u'_2 \cdot (h \cdot \delta + \beta - \alpha \cdot h) + u_2 \cdot (\delta + \alpha + \gamma) \end{aligned}

Porównujemy i wyliczamy parametry:

\begin{aligned} &u'''_2 = u'''_2 \cdot 1 + u''_2 \cdot 0 + u'_2 \cdot 0 + u_2 \cdot 0 \\ &\frac{h^3 \cdot \delta + 3 \cdot \beta \cdot h^2 - \alpha \cdot h^3}{6} = 1 \\ &\frac{h^2 \cdot \delta + \alpha \cdot h^2 - 2 \cdot \beta \cdot h}{2} = 0 \\ &h \cdot \delta + \beta - \alpha \cdot h = 0 \\ &\delta + \alpha + \gamma = 0 \\ &\alpha = \frac{9}{2 \cdot h^3} \\ &\beta = \frac{3}{h^2} \\ &\gamma = -\frac{6}{h^3} \\ &\delta = \frac{3}{2 \cdot h^3} \end{aligned}

Wracamy do równania:

\begin{aligned} u'''_2 &= \alpha \cdot u_1 + \beta \cdot u'_1 + \gamma \cdot u_2 + \delta \cdot u_3 \\ u'''_2 &= \frac{3 \cdot u'_1}{h^2} + \frac{3 \cdot u_3}{2 \cdot h^3} + \frac{9 \cdot u_1}{2 \cdot h^3} - \frac{6 \cdot u_2}{h^3} \\ u'''_2 &= \frac{6 \cdot u'_1 \cdot h + 3 \cdot u_3 + 9 \cdot u_1 - 12 \cdot u_2}{2 \cdot h^3} \end{aligned}