Wstęp teoretyczny

Konstrukcje inżynierskie poddane są działaniu obciążenia stałego i zmiennego. Znajomość linii wpływu pozwala określić wartość ekstremalnych sił wewnętrznych i reakcji od dowolnego zestawu obciążeń. Przy projektowaniu konstrukcji najbardziej interesują nas wartości ekstremalne sił wewnętrznych w kilku lub kilkunastu przekrojach. Zbiór takich maksymalnych i minimalnych wartości nosi nazwę obwiedni. W tym przykładzie wyznacza się obwiednię momentów zginających, oczywiście można również dla dowolnej belki wyznaczyć obwiednie sił poprzecznych. Tok postępowania do obliczenia i narysowania obwiedni:

1. Narysować linię wpływu momentu gnącego co określoną długość na belce, na przykład co 1 metr,

2. Do każdej linii wpływu przyłożyć obciążenie stałe na całej długości oraz obciążenie zmienne,

3. obciążenie zmienne należy przyłożyć do najbardziej dodatniej i najbardziej ujemnej części wykresu w taki sposób aby uzyskać jak największą wartość siły – jeśli mamy wątpliwości w które miejsce wykresu przyłożyć obciążenie (nie zawsze jest to oczywiste) – to próbujemy różnych wariantów i wybieramy ten najbardziej ekstremalny,

4. Dla każdego przypadku obliczamy wartość momentu od obciążenia stałego oraz od skrajnego położenia obciążenia zmiennego,

5. Dla każdego przypadku obliczamy ostateczną maksymalną i minimalną wartość momentu w danym przekroju,

6. Nakładając otrzymane wyniki na wykres otrzymujemy obwiednię momentu zginającego.

Linie wpływu

$M_1$ \[ \begin{aligned} & M_{1, \text{stale}} := \left(\frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 1+\frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 3-\frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 3-\frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 3\right) \cdot 6 = -4.5 \\ & M_{1, \text{max}} := 20 \cdot 0+10 \cdot 0.75+\frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 3 \cdot 6 = 14.25 \\ & M_{1, \text{min}} := -20 \cdot 0.5-10 \cdot 0.25-\frac{1}{2} \cdot(0.25+0.75) \cdot 2 \cdot 6-\frac{1}{2} \cdot(0.75+0.5) \cdot 1 \cdot 6 = -22.25 \\ & M_{1, \text{max\_ost}} := M_{1, \text{max}} + M_{1, \text{stale}} = 9.75 \\ & M_{1, \text{min\_ost}} := M_{1, \text{min}} + M_{1, \text{stale}} = -26.75 \end{aligned} \] $M_2$ \[ \begin{aligned} & M_{2, \text{stale}} := \left(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2+\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2-\frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot 3-\frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot 3\right) \cdot 6 = -15 \\ & M_{2, \text{max}} := 20 \cdot 0.5+10 \cdot 0+\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 6+\frac{1}{2} \cdot(1+0.5) \cdot 1 \cdot 6 = 20.5 \\ & M_{2, \text{min}} := -20 \cdot 1-10 \cdot 0.5-\frac{1}{2} \cdot(0.5+1.5) \cdot 2 \cdot 6-\frac{1}{2} \cdot(1.5+1) \cdot 1 \cdot 6 = -44.5 \\ & M_{2, \text{max\_ost}} := M_{2, \text{max}} + M_{2, \text{stale}} = 5.5 \\ & M_{2, \text{min\_ost}} := M_{2, \text{min}} + M_{2, \text{stale}} = -59.5 \end{aligned} \] $M_3$ \[ \begin{aligned} & M_{3, \text{stale}} := \left(\frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 3+\frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 1-\frac{1}{2} \cdot 2.25 \cdot 3-\frac{1}{2} \cdot 2.25 \cdot 3\right) \cdot 6 = -31.5 \\ & M_{3, \text{max}} := 20 \cdot 0.75+10 \cdot 0+\frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 3 \cdot 6 = 21.75 \\ & M_{3, \text{min}} := -20 \cdot 1.5-10 \cdot 0.75-\frac{1}{2} \cdot(0.75+2.25) \cdot 2 \cdot 6-\frac{1}{2} \cdot(2.25+1.5) \cdot 1 \cdot 6 = -66.75 \\ & M_{3, \text{max\_ost}} := M_{3, \text{max}} + M_{3, \text{stale}} = -9.75 \\ & M_{3, \text{min\_ost}} := M_{3, \text{min}} + M_{3, \text{stale}} = -98.25 \end{aligned} \] $M_4$ \[ \begin{aligned} & M_{4, \text{stale}} := \frac{-1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 6-\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 6 = -54 \\ & M_{4, \text{max}} := 0 \\ & M_{4, \text{min}} := -20 \cdot 2-10 \cdot 1-\frac{1}{2} \cdot(1+3) \cdot 2 \cdot 6-\frac{1}{2} \cdot(3+2) \cdot 1 \cdot 6 = -89 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} & M_{4 \max \_ \text {ost }}:=M_{4 \max }+M_{4 \text { stale }}=-54 \\ & M_{4 \min \_ \text {ost }}:=M_{4 \min }+M_{4 \text { stale }}=-143 \end{aligned} \] M5 \[ \begin{aligned} & M_{5 \text { stale }}:=\frac{-1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6-\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6=-30 \\ & M_{5 \max }:=0 \\ & M_{5 \min }:=-20 \cdot 2-10 \cdot 0-\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6=-52 \\ & M_{5 \max \_ \text {ost }}:=M_{5 \max }+M_{5 \text { stale }}=-30 \\ & M_{5 \operatorname{min\_ ost}}:=M_{5 \min }+M_{5 \text { stale }}=-82 \end{aligned} \] M6 \[ \begin{aligned} & M_{6 s t a l e}:=\frac{-1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 6-\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 6=-12 \\ & M_{6 \max }:=0 \\ & M_{6 \min }:=-20 \cdot 1-10 \cdot 0-\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 6=-23 \\ & M_{6 \max \_o s t}:=M_{6 \max }+M_{6 s t a l e}=-12 \\ & M_{6 \min \_ \text {ost }}:=M_{6 \min }+M_{6 s t a l e}=-35 \end{aligned} \] $M_7$ \[ \begin{aligned} & M_{7, \text{stale}} := 0 \\ & M_{7, \text{max}} := 0 \\ & M_{7, \text{min}} := 0 \\ & M_{7, \text{max\_ost}} := M_{7, \text{max}} + M_{7, \text{stale}} = 0 \\ & M_{7, \text{min\_ost}} := M_{7, \text{min}} + M_{7, \text{stale}} = 0 \end{aligned} \] $M_8$ \[ \begin{aligned} & M_{8, \text{stale}} := \frac{-1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot 6 = -6 \\ & M_{8, \text{max}} := 20 \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 6 = 15.333 \\ & M_{8, \text{min}} := 0 \\ & M_{8, \text{max\_ost}} := M_{8, \text{max}} + M_{8, \text{stale}} = 9.333 \\ & M_{8, \text{min\_ost}} := M_{8, \text{min}} + M_{8, \text{stale}} = -6 \end{aligned} \] M9 \[ \begin{aligned} & M_{9 \text { stale }}:=\frac{-1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 6-\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot 6=-6 \\ & M_{9 \text { max }}:=20 \cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot 6=17.333 \\ & M_{9 \min }:=0 \\ & M_{9 \max \_ \text {ost }}:=M_{9 \max }+M_{9 \text { stale }}=11.333 \\ & M_{9 \min \_ \text {ost }}:=M_{9 \min }+M_{9 \text { stale }}=-6 \end{aligned} \] $M_{10}$ \[ \begin{aligned} & M_{10, \text{stale}} := 0 \\ & M_{10, \text{max}} := 0 \\ & M_{10, \text{min}} := 0 \\ & M_{10, \text{max\_ost}} := M_{10, \text{max}} + M_{10, \text{stale}} = 0 \\ & M_{10, \text{min\_ost}} := M_{10, \text{min}} + M_{10, \text{stale}} = 0 \end{aligned} \]

Obliczenia obwiedni

Wykresy obwiedni

Linie wpływu

Mechanika budowli - Linie wpływu - Przykład 10

Przykład 10