Na podstawie materiału wideo prezentującego belkę z łyżwą pionową i podporą przesuwną, przedstawiamy rozwiązanie analityczne dla reakcji podporowych oraz sił przekrojowych. Belka jest trzecim typem belki podstawowej.

W utwierdzeniu (łyżwa pionowa) występują reakcje $V_A$ (pozioma, która jest zerowa) i moment $M_A$. W podporze przesuwnej (punkt $B$) występuje reakcja $V_B$. Długość belki w rozważanym przedziale wynosi $L$, a przekrój $k$ znajduje się w odległości $a$. Belka może posiadać wysięg o długości $c$ (całkowita długość to $L+c$).

1. Linie wpływu reakcji podporowych ($V_B, M_A$)

Reakcja $V_B$

Korzystamy z sumy rzutów na oś $Y$ równej zero ($\sum F_Y = 0$). Ponieważ $V_A$ jest zerowe (łyżwa pionowa przenosi tylko moment i siłę poziomą), całą siłę pionową przenosi $V_B$:

\[ -1 + V_B = 0 \]

Wyznaczamy $V_B$ w funkcji $X$:

\[ V_B = 1 \]

Linia wpływu $V_B$ jest stała na całej długości belki.

Moment $M_A$

Korzystamy z sumy momentów w punkcie $A$ równej zero ($\sum M_A = 0$), zakładając prawoskrętne momenty dodatnie:

\[ M_A + 1 \cdot X - V_B \cdot L = 0 \]

Podstawiając $V_b = 1$ i wyznaczając $M_A$:

\[ M_A = V_B \cdot L - 1 \cdot X \] \[ M_A = L - X \]

Sprawdzenie wartości granicznych:

Dla $X=0$: $M_A = L$.

Dla $X=L$: $M_A = 0$.

Dla $X=L+c$ (koniec belki, jeśli jest wysięg): $M_A = L - (L+c) = -c$.

Wykres linii wpływu reakcji

2. Linia wpływu siły tnącej w przekroju $k$ ($Q_k$)

Analizujemy dwa przedziały względem przekroju $k$. Przyjmujemy konwencję, że patrząc z lewej strony, siła do góry jest dodatnia.

Przedział 1: Siła przed przekrojem ($0 \le X \le a$)

Patrząc z lewej strony, widzimy siłę jednostkową skierowaną w dół, co daje wartość ujemną:

\[ Q_k = -1 \]

Przedział 2: Siła za przekrojem ($a \le X \le L+c$)

Patrząc z lewej strony, siły jednostkowej już nie ma. Nie ma też innych reakcji pionowych, które miałyby wpływ na siłę tnącą:

\[ Q_k = 0 \]

Linia wpływu $Q_k$ ma skok od $-1$ do $0$ w punkcie $X=a$.

3. Linia wpływu momentu gnącego w przekroju $k$ ($M_k$)

Przedział 1: Siła przed przekrojem ($0 \le X \le a$)

Patrzymy z prawej strony, aby uniknąć siły jednostkowej. Widzimy tylko reakcję $V_B$ na ramieniu $b$ (gdzie $b$ to odległość od $VB$ do $k$). Moment jest lewoskrętny, czyli dodatni przy patrzeniu z prawej strony:

\[ M_k = V_B \cdot b \]

Podstawiając $V_B = 1$:

\[ M_k = b \]

Moment gnący jest stały w tym przedziale.

Przedział 2: Siła za przekrojem ($a \le X \le L+c$)

Patrzymy z lewej strony przekroju. Siła jednostkowa znajduje się za przekrojem. Patrząc z lewej strony, widzimy tylko moment utwierdzenia $M_A$. Moment $M_A$ jest prawoskrętny, czyli dodatni przy patrzeniu z lewej strony:

\[ M_k = M_a \]

Podstawiając $M_A = L - X$:

\[ M_k = L - X \]

Wartości graniczne:

Dla $X=a$: $M_k = L - a = b$ (Wartości zbieżne).

Dla $X=L$: $M_k = 0$.

Dla $X=L+c$: $M_k = -c$.

Wykres linii wpływu sił w przekroju k

Linie wpływu

Mechanika budowli - Linie wpływu - Przykład 3

Przykład 3