Zaczynamy od wyliczenia parametrów do równania paraboli która będzie opisywać figurę z zadania:

\begin{aligned} & z(r)=a \cdot r^2+b \cdot r+c \\ & p=\frac{-b}{2 a}=0 \quad \rightarrow \quad b=0 \\ & q=\frac{-\Delta}{2 a}=0 \quad \rightarrow \quad \Delta=0=b^2-4 a \cdot c &z(r)=a \cdot r^2\\ &H=a \cdot R^2 \quad \rightarrow \quad a=\frac{H}{R^2}\\ &z(r)=\frac{H}{R^2} \cdot r^2 \quad \rightarrow \quad r^2(z)=z \cdot \frac{R^2}{H} \end{aligned}

Następnie obliczamy na jakiej wysokości będzie zwierciadło wody kiedy w naczyniu pozostaje 1/4 objętości początkowej, w tym celu porównujemy objętość całkowitą i objętość która pozostanie. Ponieważ musimy mieć równanie jednej zmiennej za \(r^2\) podstawimy zależność obliczoną w poprzednim kroku

\begin{aligned} &V(r, z)=\frac{1}{2} \pi \cdot r^2 z\\ &V(z)=\frac{1}{2} \pi \cdot z \cdot \frac{R^2}{H} z=\frac{R^2 \cdot z^2 \cdot \pi}{2 \cdot H}\\ &V_{\text {paraboloidy }}=\frac{R^2 \cdot H^2 \cdot \pi}{2 \cdot H}=\frac{H \cdot R^2 \cdot \pi}{2}\\ &\frac{1}{4} \cdot V_{\text {paraboloidy }}=\frac{1}{4} \cdot \frac{H \cdot R^2 \cdot \pi}{2}=\frac{R^2 \cdot z^2 \cdot \pi}{2 \cdot H} \quad \rightarrow \quad z=\frac{H}{2} \end{aligned}

Wypływ następi więc w przedziale H/2 do H:

\begin{aligned} T=\frac{1}{S_o \cdot \sqrt{2 g}} \cdot \int_{\frac{H}{2}}^H \frac{S(z)}{\sqrt{z}} \mathrm{~d} z \end{aligned}

Obliczamy osobno całkę:

\begin{aligned} &I=\int_{\frac{H}{2}}^H \frac{S(z)}{\sqrt{z}} \mathrm{~d} z=\int_{\frac{H}{2}}^H \frac{\pi \cdot r^2}{\sqrt{z}} \mathrm{~d} z=\int_{\frac{H}{2}}^H \frac{\pi \cdot z \cdot \frac{R^2}{H}}{\sqrt{z}} \mathrm{~d} z=\int_{\substack{H \\ 2}}^H \frac{R^2 \cdot \pi \cdot \sqrt{z}}{H} \mathrm{~d} z\\ &\int \frac{R^2 \cdot \pi \cdot \sqrt{z}}{H} \mathrm{~d} z=\frac{2 \cdot R^2 \cdot \pi \cdot z^2}{3 \cdot H}\\ &I=\frac{2 \cdot R^2 \cdot \pi}{3 \cdot H} \cdot\left(H^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{H}{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right) \end{aligned}

Podstawiamy na wartościach

\begin{aligned} & R=1 \mathrm{~m} \quad H=1 \mathrm{~m} \quad d=5 \mathrm{~mm}=0.005 \mathrm{~m} \quad g=9.81 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\\ & I=\frac{2 \cdot R^2 \cdot \pi}{3 \cdot H} \cdot\left(H^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{H}{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right)=1.354 \mathrm{~m}^{\frac{5}{2}} \\ & T=\frac{1}{\pi \cdot \frac{d^2}{4} \cdot \sqrt{2 g}} \cdot I=15567.249 \mathrm{~s}=259.454 \mathrm{~min}=4.324 \mathrm{~h} \end{aligned}

Hydrodynamika

Mechanika płynów - Hydrodynamika - Przykład 1

Przykład 0