Dzielimy układ na figury proste, przyjmujemy początek układu współrzędnych w punkcie A. Na poniższym rysunku zaznaczono również środki ciężkości poszczególnych figur.

Dla przejrzystości obliczeń wprowadzono do tego przykładu symbole, które później wykorzystano w obliczeniach. (wymiary w cm, cm^2)

Figura 1 \( \quad \mathrm{~b}_{1}=4 \quad \mathrm{~h}_{1}=2 \quad \mathrm{~A}_{1}=\mathrm{b}_{1} \cdot \mathrm{h}_{1}=8\)
Figura 2 \(\quad \mathrm{~b}_{2}=2 \quad \mathrm{~h}_{2}=6 \quad \mathrm{~A}_{2}=\frac{1}{2} \cdot \mathrm{b}_{2} \cdot \mathrm{h}_{2}=6\)
Figura 3 \( \quad \mathrm{r}=2 \quad \mathrm{~A}_{3}=\frac{1}{4} \cdot \pi \cdot \mathrm{r}^{2}=3.142 \quad \rho=1\)
Figura 4 \( \quad l_{4}=2 \quad \rho_{4}=2 \quad \alpha_{1}=90^{\circ}\)
Figura 5 \( \quad 1_{5}=2 \quad \rho_{5}=4 \quad \alpha_{2}=0^{\circ}\)

Obliczamy momenty bezwładności względem osi x i y przechodzących przez punkt A, następnie moment dewiacji.
Po obliczeniu powyższych obliczamy główne momenty bezwładności oraz kierunki w punkcie A.

\begin{aligned} &\mathrm{I}_{\mathrm{x}}:=\frac{\mathrm{b}_{1} \cdot \mathrm{h}_{1}^{3}}{3}+\left[\frac{\mathrm{b}_{2} \cdot \mathrm{h}_{2}^{3}}{36}+\mathrm{A}_{2} \cdot\left(2+\frac{1}{3} \cdot \mathrm{h}_{2}\right)^{2}\right] \ldots\\ &=150.959 \mathrm{~cm}^{4}\\ &+-\left[\left[\frac{\pi \cdot r^{4}}{16}-\mathrm{A}_{3} \cdot\left(\frac{4 \cdot \mathrm{r}}{3 \cdot \pi}\right)^{2}\right]+\mathrm{A}_{3} \cdot\left(2-\frac{4 \cdot \mathrm{r}}{3 \cdot \pi}\right)^{2}\right] \ldots\\ &+\left(\frac{1_{4}^{3}}{12} \cdot \sin \left(\alpha_{1}\right)^{2}+1_{4} \cdot 1^{2}\right) \cdot \rho_{4}+\left(\frac{1_{5}^{3}}{12} \cdot \sin \left(\alpha_{2}\right)^{2}+1_{5} \cdot 2^{2}\right) \cdot \rho_{5}\\ &\mathrm{I}_{\mathrm{y}}:=\frac{\mathrm{h}_{1} \cdot \mathrm{b}_{1}^{3}}{3}+\left[\frac{\mathrm{h}_{2} \cdot \mathrm{b}_{2}^{3}}{36}+\mathrm{A}_{2} \cdot\left(4-\frac{1}{3} \cdot 2\right)^{2}\right] \ldots\\ &=118.192 \mathrm{~cm}^{4}\\ &+-\left(\frac{\pi \cdot r^{4}}{16}\right)+\left(\frac{1_{4}^{3}}{12} \cdot \cos \left(\alpha_{1}\right)^{2}\right) \cdot \rho_{4}+\left(\frac{1_{5}^{3}}{12} \cdot \cos \left(\alpha_{2}\right)^{2}+1_{5} \cdot 1^{2}\right) \cdot \rho_{5}\\ &\mathrm{I}_{\mathrm{xy}}:=\frac{\mathrm{b}_{1}{ }^{2} \cdot \mathrm{h}_{1}^{2}}{4}+\left[\frac{\mathrm{b}_{2}{ }^{2} \cdot \mathrm{h}_{2}^{2}}{72}+\mathrm{A}_{2} \cdot\left(4-\frac{1}{3} \cdot 2\right) \cdot\left(2+\frac{1}{3} \cdot 6\right)\right] \ldots \quad=110.667 \mathrm{~cm}^{4}\\ &+-\left[\left[\frac{-r^{4}}{8}-A_{3} \cdot\left(\frac{4 \cdot r}{3 \cdot \pi}\right) \cdot\left(\frac{-4 \cdot r}{3 \cdot \pi}\right)\right]+A_{3} \cdot\left(\frac{4 \cdot r}{3 \cdot \pi}\right) \cdot\left(2-\frac{4 \cdot r}{3 \cdot \pi}\right)\right] \ldots\\ &+\left(\frac{1_{4}^{3}}{12} \cdot \sin \left(\alpha_{1}\right)^{2} \cdot \cos \left(\alpha_{1}\right)^{2}\right) \rho_{4} \cdots\\ &+\left[\frac{1_{5}^{3}}{12} \cdot \sin \left(\alpha_{2}\right)^{2} \cdot \cos \left(\alpha_{2}\right)^{2}+1_{5} \cdot(1) \cdot(2)\right] \rho_{5} \end{aligned}

Momenty bezwładności i kierunki główne w punkcie } A

\begin{aligned} &\mathrm{I}_{1 \mathrm{a}}:=\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{x}}+\mathrm{I}_{\mathrm{y}}}{2}+\sqrt{\left(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{x}}-\mathrm{I}_{\mathrm{y}}}{2}\right)^{2}+\mathrm{I}_{\mathrm{xy}}{ }^{2}}=246.448 \mathrm{~cm}^{4}\\ &\mathrm{I}_{2 \mathrm{a}}:=\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{x}}+\mathrm{I}_{\mathrm{y}}}{2}+\sqrt{\left(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{x}}-\mathrm{I}_{\mathrm{y}}}{2}\right)^{2}+\mathrm{I}_{\mathrm{xy}}{ }^{2}}=22.702 \mathrm{~cm}^{4} \end{aligned}

Kąt obrotu od osi poziomej do osi głównych centralnych

\begin{aligned} &\alpha_{1}:=\operatorname{atan}\left(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{xy}}}{\mathrm{I}_{\mathrm{y}}-\mathrm{I}_{1 \mathrm{a}}}\right)=-40.789^{\circ} \\ &\alpha_{2}:=\operatorname{atan}\left(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{xy}}}{\mathrm{I}_{\mathrm{y}}-\mathrm{I}_{2 \mathrm{a}}}\right)=49.211^{\circ} \end{aligned}

sprawdzenie \(\left|\alpha_{1}\right|+\left|\alpha_{2}\right|=90^{\circ}\)

Glówne centralne momenty bezwładności

Aby je obliczyć musimy wyznaczyć położenie środka ciężkości

\begin{array}{lll} \mathrm{x}_{1}:=\frac{\mathrm{b}_{1}}{2}=2 & \mathrm{y}_{1}:=\frac{\mathrm{h}_{1}}{2}=1 & \mathrm{~A}_{1}=8 \\ \mathrm{x}_{2}:=\mathrm{b}_{1}-\frac{1}{3} \cdot \mathrm{b}_{2}=3.333 & \mathrm{y}_{2}:=\mathrm{h}_{1}+\frac{1}{3} \cdot \mathrm{h}_{2}=4 & \mathrm{~A}_{2}=6 \\ \mathrm{x}_{3}:=\frac{4 \cdot \mathrm{r}}{3 \cdot \pi}=0.849 & \mathrm{y}_{3}:=\mathrm{h}_{1}-\frac{4 \cdot \mathrm{r}}{3 \cdot \pi}=1.151 & \mathrm{~A}_{3}=3.142 \\ \mathrm{x}_{4}:=0 & \mathrm{y}_{4}:=0.51_{4}=1 & \mathrm{~A}_{4}:=1_{4} \cdot \rho_{4}=4 \\ \mathrm{x}_{5}:=0.51_{5}=1 & \mathrm{y}_{5}:=1_{4}=2 & \mathrm{~A}_{5}:=1_{5} \cdot \rho_{5}=8 \end{array}

Całkowite pole \( A:=A_{1}+A_{2}-A_{3}+A_{4}+A_{5}=22.858 \)

Wspótzędne środka ciężkości

\begin{aligned} &\mathrm{x}_{\mathrm{c}}:=\frac{\mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{A}_{1}+\mathrm{x}_{2} \cdot \mathrm{A}_{2}-\mathrm{x}_{3} \cdot \mathrm{A}_{3}+\mathrm{x}_{4} \cdot \mathrm{A}_{4}+\mathrm{x}_{5} \cdot \mathrm{A}_{5}}{\mathrm{~A}}=1.808 \mathrm{~cm} \\ &\mathrm{y}_{\mathrm{c}}:=\frac{\mathrm{y}_{1} \cdot \mathrm{A}_{1}+\mathrm{y}_{2} \cdot \mathrm{A}_{2}-\mathrm{y}_{3} \cdot \mathrm{A}_{3}+\mathrm{y}_{4} \cdot \mathrm{A}_{4}+\mathrm{y}_{5} \cdot \mathrm{A}_{5}}{\mathrm{~A}}=2.117 \mathrm{~cm} \end{aligned}

Centralne momenty bezwładności

\begin{aligned} &\mathrm{I}_{\mathrm{xc}}:=\mathrm{I}_{\mathrm{x}}-\mathrm{A} \cdot \mathrm{y}_{\mathrm{c}}^{2}=48.547 \mathrm{~cm}^{4} \\ &\mathrm{I}_{\mathrm{yc}}:=\mathrm{I}_{\mathrm{y}}-\mathrm{A} \cdot \mathrm{x}_{\mathrm{c}}{ }^{2}=43.451 \mathrm{~cm}^{4} \\ &\mathrm{I}_{\mathrm{xcyc}}:=\mathrm{I}_{\mathrm{xy}}-\mathrm{A} \cdot \mathrm{x}_{\mathrm{c}} \cdot \mathrm{y}_{\mathrm{c}}=23.178 \mathrm{~cm}^{4} \end{aligned}

Gówne centralne momenty bezwładności

\begin{aligned} &\mathrm{I}_{1}:=\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{xc}}+\mathrm{I}_{\mathrm{yc}}}{2}+\sqrt{\left(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{xc}}-\mathrm{I}_{\mathrm{yc}}}{2}\right)^{2}+\mathrm{I}_{\mathrm{xcyc}}}=69.317 \mathrm{~cm}^{4} \\ &\mathrm{I}_{2}:=\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{xc}}+\mathrm{I}_{\mathrm{yc}}}{2}-\sqrt{\left(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{xc}}-\mathrm{I}_{\mathrm{yc}}}{2}\right)^{2}+\mathrm{I}_{\mathrm{xcyc}}}{ }^{2}=22.682 \mathrm{~cm}^{4} \end{aligned}

Momenty bezwładności w układzie \(\mathrm{D} \xi \eta\)

\begin{aligned} &\mathrm{x}_{\mathrm{D}}:=2 \quad \mathrm{y}_{\mathrm{D}}:=2 \\ &\mathrm{I}_{\mathrm{xD}}:=\mathrm{I}_{\mathrm{xc}}+\mathrm{A} \cdot\left(\mathrm{y}_{\mathrm{c}}-\mathrm{y}_{\mathrm{D}}\right)^{2}=48.858 \mathrm{~cm}^{4} \\ &\mathrm{I}_{\mathrm{yD}}:=\mathrm{I}_{\mathrm{yc}}+\mathrm{A} \cdot\left(\mathrm{x}_{\mathrm{c}}-\mathrm{x}_{\mathrm{D}}\right)^{2}=44.292 \mathrm{~cm}^{4} \\ &\mathrm{I}_{\mathrm{xDyD}}:=\mathrm{I}_{\mathrm{xcyc}}+\mathrm{A} \cdot\left(\mathrm{x}_{\mathrm{c}}-\mathrm{x}_{\mathrm{D}}\right) \cdot\left(\mathrm{y}_{\mathrm{c}}-\mathrm{y}_{\mathrm{D}}\right)=22.667 \mathrm{~cm}^{4} \end{aligned}

kąt obrotu od osi poziomej x w punkcie D do prostej \(\xi\)

\begin{aligned} &\alpha_{\xi}:=\operatorname{atan}\left(\frac{\mathrm{h}_{2}}{\mathrm{~b}_{2}}\right)=71.565{ }^{\circ} \\ &\mathrm{I}_{\xi}:=\mathrm{I}_{\mathrm{xD}} \cdot \cos \left(\alpha_{\xi}\right)^{2}+\mathrm{I}_{\mathrm{yD}} \cdot \sin \left(\alpha_{\xi}\right)^{2}-\mathrm{I}_{\mathrm{xDyD}} \cdot \sin \left(2 \alpha_{\xi}\right)=31.149 \mathrm{~cm}^{4} \\ &\mathrm{I}_{\eta}:=\mathrm{I}_{\mathrm{xD}} \cdot \sin \left(\alpha_{\xi}\right)^{2}+\mathrm{I}_{\mathrm{yD}} \cdot \cos \left(\alpha_{\xi}\right)^{2}+\mathrm{I}_{\mathrm{xDyD}} \cdot \sin \left(2 \alpha_{\xi}\right)=62.002 \mathrm{~cm}^{4} \\ &\mathrm{I}_{\xi \eta}:=\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{xD}}-\mathrm{I}_{\mathrm{yD}}}{2} \cdot \sin \left(2 \alpha_{\xi}\right)+\mathrm{I}_{\mathrm{xDyD}} \cdot \cos \left(2 \cdot \alpha_{\xi}\right)=-16.763 \mathrm{~cm}^{4} \end{aligned}

Statyka - Charakterystyki geometryczne

Mechanika techniczna - Statyka - Charakterystyki geometryczne - Przykład 3

Przykład 3