Rozrysowujemy siły działające na poszczególne ciała

Ciało I

\begin{array}{lll} \sum{F_x}=0 & S_A-N_B=0 & N_B=S_A\\ \sum{F_y}=0 & N_A-G+T_B=0\\ \sum{M_A}=0 & G\cdot b\cdot \cos{\beta}-T_B\cdot l\cdot \cos{\beta}-N_B\cdot l\cdot \sin{\beta}=0\\ \end{array}

Pamiętamy, że dla tarcia ślizgowego \(T_{B}=N_{B} \mu_{2}\). Równanie sumy względem osi pionowej nie będzie nam potrzebne. Podstawiając do równania momentu względem punktu A:

\begin{aligned} &T_B=S_A\cdot\mu_2\\ &G\cdot b\cdot \cos{\beta}-S_A\cdot\mu_2\cdot l\cdot \cos{\beta}-S_A\cdot l\cdot \sin{\beta}=0\\ &G\cdot b\cdot \cos{\beta}=S_A\cdot l\cdot(\mu_2\cdot \cos{\beta}+\sin{\beta})\\ \end{aligned}

Ciało II

\begin{aligned} S_A=S\cdot e^{\mu_1\cdot\alpha} \end{aligned}

Ciało III

\begin{aligned} S=Q \end{aligned}

Z równań dla ciała II oraz III:

\begin{aligned} S_A=Q\cdot e^{\mu_1\cdot\alpha} \end{aligned}

Podstawiając do równania które uzyskaliśmy dla ciała I:

\begin{aligned} &G\cdot b\cdot \cos{\beta}=Q\cdot e^{\mu_1\cdot\alpha}\cdot l\cdot(\mu_2\cdot \cos{\beta}+\sin{\beta})\\ \end{aligned}

Ponieważ w treści zadania mamy za zadanie obliczyć kąt porządkujemy równanie:

\begin{aligned} &G\cdot b\cdot \cos{\beta}=Q\cdot e^{\mu_1\cdot\alpha}\cdot l\cdot(\mu_2\cdot \cos{\beta}+\sin{\beta})\\ &G\cdot b\cdot\cos{\beta}=Q\cdot e^{\mu_1\cdot\alpha}\cdot l\cdot\left(\mu_2\cdot\cos{\beta}+\sin{\beta}\right)\\ &G\cdot b\cdot\cos{\beta}-Q\cdot e^{\mu_1\cdot\alpha}\cdot l\cdot\mu_2\cdot\cos{\beta}=Q\cdot e^{\mu_1\cdot\alpha}\cdot l\cdot\sin{\beta}\\ &\left(G\cdot b-Q\cdot e^{\mu_1\cdot\alpha}\cdot l\cdot\mu_2\right)\cdot\cos{\beta}=Q\cdot e^{\mu_1\cdot\alpha}\cdot l\cdot\sin{\beta}\\ &\frac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}}=\frac{G\cdot b-Q\cdot e^{\mu_1\cdot\alpha}\cdot l\cdot\mu_2}{Q\cdot e^{\mu_1\cdot\alpha}\cdot l}\\ &\tan{\beta}=\frac{G\cdot b}{Q\cdot l}e^{-\mu_1\cdot\alpha}-\mu_2\\ &\tan{\beta}=\frac{G\cdot b}{Q\cdot l}e^{-\mu_1\cdot\frac{\pi}{2}}-\mu_2\\ \end{aligned}

Jak łatwo zauważyć w praktyce wartość kąta powinna być opisana warunkiem:

\begin{aligned} \tan{\beta} \geq \frac{G\cdot b}{Q\cdot l}e^{-\mu_1\cdot\frac{\pi}{2}}-\mu_2 \end{aligned}

Analogicznie dla komplementarnego przypadku możemy uzyskać bardzo podobne rozwiązanie dla drugiego przypadku granicznego

Ciało I

\begin{array}{lll} \sum{F_x}=0 & S_A-N_B=0 & N_B=S_A\\ \sum{F_y}=0 & N_A-G-T_B=0\\ \sum{M_A}=0 & G\cdot b\cdot \cos{\beta}+T_B\cdot l\cdot \cos{\beta}-N_B\cdot l\cdot \sin{\beta}=0\\ \end{array}

Pamiętamy, że dla tarcia ślizgowego \(T_{B}=N_{B} \mu_{2}\). Równanie sumy względem osi pionowej nie będzie nam potrzebne. Podstawiając do równania momentu względem punktu A:

\begin{aligned} &T_B=S_A\cdot\mu_2\\ &G\cdot b\cdot \cos{\beta}+S_A\cdot\mu_2\cdot l\cdot \cos{\beta}-S_A\cdot l\cdot \sin{\beta}=0\\ &G\cdot b\cdot \cos{\beta}=S_A\cdot l\cdot(\sin{\beta}-\mu_2\cdot \cos{\beta})\\ \end{aligned}

Ciało II

\begin{aligned} S_A=S\cdot e^{-\mu_1\cdot\alpha} \end{aligned}

Ciało III

\begin{aligned} S=Q \end{aligned}

Z równań dla ciała II oraz III:

\begin{aligned} S_A=Q\cdot e^{-\mu_1\cdot\alpha} \end{aligned}

Podstawiając do równania które uzyskaliśmy dla ciała I:

\begin{aligned} &G\cdot b\cdot \cos{\beta}=S_A\cdot l\cdot(\sin{\beta}-\mu_2\cdot \cos{\beta})\\ \end{aligned}

Ponieważ w treści zadania mamy za zadanie obliczyć kąt porządkujemy równanie:

\begin{aligned} &G\cdot b\cdot\cos{\beta}=Q\cdot e^{-\mu_1\cdot\alpha}\cdot l\cdot\left(\sin{\beta}-\mu_2\cdot\cos{\beta}\right)\\ &G\cdot b\cdot\cos{\beta}+Q\cdot e^{{-\mu}_1\cdot\alpha}\cdot l\cdot\mu_2\cdot\cos{\beta}=Q\cdot e^{-\mu_1\cdot\alpha}\cdot l\cdot\sin{\beta}\\ &\left(G\cdot b+Q\cdot e^{{-\mu}_1\cdot\alpha}\cdot l\cdot\mu_2\right)\cdot\cos{\beta}=Q\cdot e^{{-\mu}_1\cdot\alpha}\cdot l\cdot\sin{\beta}\\ &\frac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}}=\frac{G\cdot b+Q\cdot e^{{-\mu}_1\cdot\alpha}\cdot l\cdot\mu_2}{Q\cdot e^{-\mu_1\cdot\alpha}\cdot l}\\ &\tan{\beta}=\frac{G\cdot b}{Q\cdot l}e^{\mu_1\cdot\alpha}+\mu_2\\ &\tan{\beta}=\frac{G\cdot b}{Q\cdot l}e^{\mu_1\cdot\frac{\pi}{2}}+\mu_2\\ \end{aligned}

Jak łatwo zauważyć w praktyce wartość kąta dla tego wariantu powinna być opisana warunkiem:

\begin{aligned} \tan{\beta} \leq \frac{G\cdot b}{Q\cdot l}e^{\mu_1\cdot\frac{\pi}{2}}+\mu_2 \end{aligned}

Czyli ostatecznie możemy zapisać warunek w postaci:

\begin{aligned} \frac{G\cdot b}{Q\cdot l}e^{-\mu_1\cdot\frac{\pi}{2}}-\mu_2 \leq \tan{\beta} \leq \frac{G\cdot b}{Q\cdot l}e^{\mu_1\cdot\frac{\pi}{2}}+\mu_2 \end{aligned}

Statyka - Płaski układ sił z tarciem

Mechanika techniczna - Statyka - Płaski układ sił z tarciem - Przykład 2

Przykład 2