Obliczenie reakcji \(M_{AU} \)

- tarcza 1 i tarcza 3 mają swoje środki obrotu w podporach przegubowych nieprzesuwnych,
- z tych środków obrotu wyznaczam dopuszczalny ruch punktu B oraz dopuszczalny ruch punktu C (dopuszczalny ruch jest na kierunku prostopadłym do prostej łączącej środek obrotu z badanym punktem),
- jeśli mam informacje o ruchu dwóch punktów tarczy drugiej, to przecinam prostopadłe do tych możliwości ruchu i w tym miejscu jest środek obrotu tarczy drugiej, wypada on w punkcie A,
- narzucam tarczy pierwszej prędkości kątową \( \omega_I = 1 \), aby prędkość na styku tarczy pierwszej i drugiej były takie same, a mają one środek obrotu w tym samym miejscu, to prędkość \( \omega_{II} \) musi być równa prędkości \( \omega_I \),
- znając prędkość \( \omega_{II} \) mogę wyznaczyć prędkość liniową w punkcie C (na styku tarczy 2 i 3) i następnie wyznaczyć prędkość kątową tarczy trzeciej o takim zwrocie, aby była zgodność zwrotu prędkości liniowej w punkcie C wyznaczonej już z tarczy drugiej,
- znając wszystkie środki obrotu i prędkości kątowe wyznaczam prędkości liniowe w punktach charakterystycznych to znaczy w punktach w których na ramie występują obciążenia
\begin{array}{ll} 2 \omega_2=2 & \omega_2=1 \\ 2 \omega_3=4 \omega_2 & \omega_3=\frac{4}{2} \omega_2=2 \\ M_{A u} \cdot 1+2 \cdot 1+2 \cdot 3 & \omega_2+2 \cdot \omega_3=0 \\ M_{A u}:=-(2 \cdot 1+2 \cdot 3 & \left.\omega_2+2 \cdot \omega_3\right)=-12 \end{array}

Obliczenie reakcji \(H_A \)

– tarcza pierwsza ma dwie możliwości: albo porusza się ruchem liniowym w poziomie albo jest nieruchoma, założymy na początku że porusza się liniowo w prawo,
- zawsze interesuje nas ruch w punkcie styku z drugą tarczą a więc w punkcie B określamy że jest dopuszczony ruch poziomo (w prawo),
- tarcza 3 ma środek obrotu w punkcie D, więc punkt C z tego środka obrotu może poruszać się pionowo,
- mamy więc informacje o ruchu dwóch punktów tarczy drugiej, prostopadłe do tych możliwości ruchu przecinają się w punkcie zaznaczonym na żółto na rysunku i jest to środek obrotu tarczy drugiej,
- jeśli zaczniemy od narzucenia tarczy pierwszej prędkości równej \( \delta = 1 \), to z tego obliczymy prędkość kątową \( \omega_{II} \) taką aby prędkość już określona w punkcie B wynikała również z tej prędkości kątowej (a więc \( \omega_{II} \cdot 2 = 1 \) i musi być prawoskrętna,
- następnie obliczymy na podstawie prędkości \( \omega_{II} \) wartość prędkości liniowej w punkcie C i znając tą prędkość będziemy mogli obliczyć prędkość kątową \( \omega_{III} \)
\begin{array}{ll} 1=2 \omega_2 & \omega_2=\frac{1}{2} \\ 2 \omega_3=2 \omega_2 & \omega_3=\omega_2=0.5 \\ H_A \cdot 1+2 \cdot \omega_2+2 \omega_3=0 & \\ H_A:=-\left(2 \cdot \omega_2+2 \omega_3\right)=-2 \end{array}

Obliczenie reakcji \(V_A \)

– tarcza pierwsza ma możliwość ruchów w pionie (tylko translacja, bo jest podparta łyżwą), w szczególności punkt B również ma możliwość ruchu w w pionie,
- tarcza trzecia ma środek obrotu w punkcie D, znamy więc dopuszczalny kierunek prędkości w punkcie C i jest on pionowo, tak samo jak w punkcie B - mamy informację o ruchu dwóch punktów tarczy 2,
- prostopadłe do tych możliwości ruchu "przecinają" się w nieskończoności, co oznacza że tarcza BC również porusza się ruchem liniowym,
- jeśli narzucimy tarczy pierwszej prędkość równą \( \delta \) to z uwagi na to że w punkcie styku z tarczą 2, tj. w punkcie B, musi być zgodność prędkości z tarczy pierwszej i drugiej - to też cała tarcza druga ma prędkość równą \( \delta \), w szczególności punkt C,
- możemy więc obliczyć prędkość kątową \( \omega_{III} \) i wyznaczyć prędkości liniowe w punktach charakterystycznych
\begin{aligned} &1=2 \omega_3 \quad \omega_3=\frac{1}{2}\\ &V_A \cdot 1-1 \cdot 2-1 \cdot 2-2 \cdot \omega_3=0\\ &V_A:=-\left(-1 \cdot 2-1 \cdot 2-2 \cdot \omega_3\right)=5 \end{aligned}

Obliczenie reakcji \(V_D \)

- tarcza podparta utwierdzeniem pełnym zawsze jest nieruchoma, wobec tego punkt B mógłby być środkiem obrotu tarczy drugiej, wówczas w punkcie C wynikałaby prędkość liniowa prostopadła do prostej BC,
- w celu znalezienia środka obrotu tarczy trzeciej przecinamy prostopadłe do możliwości ruchu którą przed chwilą określiliśmy w punkcie C oraz do pionowej możliwości ruchu w punkcie D, te prostopadłe przecinają się... w punkcie C(!),
- środek obrotu charakteryzuje się tym że jest to punkt nieruchomy, a więc jeżeli tutaj miałby być środek obrotu tarczy trzeciej, to nie będzie możliwy ruch tego punktu, a więc określona dwa kroki wcześniej możliwa prędkość punktu C na kierunku prostopadłym do prostej BC, która wynikałaby z środka obrotu \( O_2 \) nie jest możliwa,
- wobec tego tarcza druga musi być nieruchoma i wtedy punkt C spokojnie może być środkiem obrotu dla tarczy trzeciej, a więc w tym przypadku jest możliwy tylko ruch obrotowy tarczy trzeciej wokół punktu C,
- nadajemy prędkość kątową \( \omega_{III} \) i obliczamy prędkości liniowe w punktach charakterystycznych
\begin{aligned} & 1=2 \omega_3 \quad \omega_3:=\frac{1}{2} \\ & V_D \cdot 1-2 \cdot \omega_3=0 \quad V_D=2 \omega_3=1 \end{aligned}

Obliczenie reakcji \(H_D \)

– tarcza pierwsza jest nieruchoma, punkt B mógłby być środkiem obrotu dla tarczy drugiej, możemy określić wtedy dopuszczalny ruch punktu C (prostopadle do prostej BC),
- mamy informacje o ruchu dwóch punktów tarczy trzeciej przecinamy prostopadłe do tych możliwości ruchu, znajdujemy środek obrotu tarczy trzeciej, zaznaczony na rysunku różową kropką,
\begin{aligned} & 2 \omega_3=1 \quad \omega_3=\frac{1}{2} \\ & 2 \omega_2=2 \omega_3 \quad \omega_2=\omega_3=0.5 \\ & H_D \cdot 1-2 \cdot \omega_3-2 \omega_2=0 \\ & H_D:=2 \cdot \omega_3+2 \omega_2=2 \end{aligned}

Sprawdzenie - obliczenie reakcji z równań statyki

\begin{array}{lll} \Sigma M_{C p}=0 & 2 \cdot 1-V_D \cdot 2=0 & V_D=1 \\ \Sigma Y=0 & V_A-1 \cdot 4-2+V_D=0 & V_A=4-2+2+V_D=5 \\ \Sigma M_{B p}=0 & 1 \cdot 2 \cdot 1+2 \cdot 3-V_D \cdot 4-H_D \cdot 2=0 & H_D=\frac{1}{2}\left(1 \cdot 2 \cdot 1+2 \cdot 3-V_D \cdot 4\right)=2 \\ \Sigma X=0 & H_A+H_D=0 & H_A=-H_D=-2 \\ \Sigma M_{B l}=0 & -2 \cdot 1 \cdot 1+V_A \cdot 2+M_{A u}-H_A \cdot 2=0 & M_{A u}=-\left(-2 \cdot 1 \cdot 1+V_A \cdot 2-H_A \cdot 2\right)=-12 \end{array}

Statyka - Zasada prac przygotowanych (wirtualnych)

Mechanika techniczna - Statyka - Zasada prac przygotowanych (wirtualnych) - Przykład 1

Przykład 1