Rozciąganie i ściskanie osiowe

Kiedy mamy do czynienia z rozciąganiem osiowym?

Rozciąganie/ściskanie osiowe pręta występuje, gdy wszystkie siły działające na przekrój poprzeczny z jednej strony sumują się w taki sposób, że tworzą pojedynczą siłę skierowaną prostopadle do przekroju. Ta siła działa wzdłuż osi pręta i jest zaczepiona w jego środku ciężkości.

Rys. 1. Rozciąganie osiowe pręta kołowego

Konwencja dodatniego znakowania siły normalnej

Jeśli kierunek działania tej siły jest taki sam jak normalna (prostopadła) do powierzchni zewnętrznej pręta, nazywamy ją siłą rozciągającą, a jej wartości przypisujemy znak dodatni.

Rys. 2. Znakowanie sił normalnych/osiowych

Wydłużenie pręta

Całkowita zmiana długości pręta jest całką oznaczoną (po długości) z funkcji odkształceń podłużnych:

\[ \Delta l=\int_0^l \varepsilon_x dx=\int_0^l \frac{N(x)}{EA} dx \]

Jeżeli mamy do czynienia z prętem jednorodnym o określonej sztywności na rozciąganie (\(EA=\text{const}\)) poddanym działaniu siły normalnej o stałej wartości (\(N=\text{const}\)), a nie funkcją siły normalnej, która może być związana choćby z uwzględnieniem ciężaru własnego, to otrzymujemy:

\[ \Delta l=\int_0^l \frac{N}{EA} dx=\frac{N}{EA} \int_0^l dx=\frac{Nl}{EA} \]

gdzie:

• N - siła normalna lub N(x) - funkcja siły normalnej
• l - długość pręta, lub części pręta
• E - moduł Younga (stała materiałowa)
• A - pole przekroju poprzecznego

Odkształcenia pręta rozciąganego

a) Wpływ obciążenia statycznego

Rys. 3. Wydłużenie pręta i zmiana wymiarów

Odkształcenie podłużne \( \varepsilon_x \) oraz odkształcenia poprzeczne \( \varepsilon_y , \varepsilon_z \) obliczymy w następujący sposób:

\[ \varepsilon_x=\frac{\Delta L}{L}=\frac{L_k-L}{L} \] \[ \varepsilon_y=\frac{\Delta d}{d}=\frac{d_k-d}{d} \] \[ \varepsilon_z=\frac{\Delta d}{d}=\frac{d_k-d}{d} \]

b) Wpływ obciążenia pozastatycznego

Pręt może zmieniać swoją długość również ze względu na oddziaływania pozastatyczne, takie jak równomierne podgrzewanie pręta w stosunku do jego temperatury początkowej (temperatury montażu). Odkształcenia termiczne które powstają w pręcie od obciążenia równomiernym podgrzaniem lub oziębieniem pręta wyrażamy wzorem:

\[ \varepsilon_{x(T)}=\alpha_t \cdot t_0 \]

gdzie:

• \(t_0\) - różnica temperatury pręta w porównaniu do jego pierwotnej temperatury wyrażona w kelwinach [K] lub stopniach Celsjusza [°C] (różnica temperatur w obu skalach zawsze jest taka sama)
• \( \alpha_t \) - współczynnik rozszerzalności termicznej, definiowany jako jednostkowa zmiana długości wywołana zmianą temperatury o 1K/1°C wyrażona w \( \frac{1}{K} \) lub \( \frac{1}{°C} \)

Zmianę długości pręta o długości \(l\) pod działaniem równomiernej temperatury wyrazimy wzorem:

\[ \Delta l_T=\varepsilon_{x(T)} \cdot l=\alpha_t \cdot t_0 \cdot l \]

A więc jeżeli na pręt działa obciążenia statyczne i termiczne, wówczas możemy zapisać:

\[ \Delta l=\Delta l_N+\Delta l_T=\int_0^l \frac{N(x)}{EA} dx+ \alpha_t \cdot t_0 \cdot l \]

Zależności między odkształceniami podłużnymi i poprzecznymi określa Liczba Poissona

Zmianę objętości obliczymy z zależności: \( \Delta V=(ε_x+ε_y+ε_z)\cdot V \)

V - objętość początkowa pręta

Liczba Poissona

Liczba Poissona to materiałowa stała fizyczna, która opisuje związek między odkształceniem poprzecznym (zmianą szerokości) a odkształceniem podłużnym (zmianą długości) w materiale.

Konkretniej, liczba Poissona (najczęściej oznaczana symbolem \( \nu \) ) jest stosunkiem względnego odkształcenia poprzecznego do względnego odkształcenia podłużnego w materiale. Wyraża się ją jako:

\[ \nu = - \frac{ε_{poprzeczne}}{ε_{podłużne}} \]

gdzie:

• \( \nu \) to liczba Poissona,
• \( ε_{poprzeczne} \) to względne odkształcenie poprzeczne,
• \( ε_{podłużne} \) to względne odkształcenie podłużne.

W przykładzie powyżej zapisalibyśmy:

\[ \nu = - \frac{ε_y}{ε_x} \] \[ \nu = - \frac{ε_z}{ε_x} \]

lub przekształcając:

\[ ε_y = - \nu \cdot ε_x \] \[ ε_z = - \nu \cdot ε_x \]

Liczba Poissona jest ważna w analizie wytrzymałości materiałów, ponieważ pozwala określić, w jaki sposób materiał zachowuje się pod obciążeniem, zwłaszcza w kontekście jego elastyczności i odporności na odkształcenia.

Różne materiały mają różne liczby Poissona, co wpływa na ich właściwości mechaniczne i zachowanie pod obciążeniem. Na przykład, dla niektórych materiałów ν jest bliskie 0, co oznacza, że zmiany w jednym kierunku (poprzecznym) są praktycznie niezauważalne w przypadku odkształceń w innym kierunku (podłużnym). W innych materiałach ν może być większe, co oznacza większą zmienność w tych odkształceniach.

Naprężenia normalne

Rys. 4. Rozkład naprężeń normalnych

Wzór na naprężenia normalne przy rozciąganiu/ściskaniu osiowym w dowolnym punkcie przekroju poprzecznego wygląda następująco:

\[ \sigma=\frac{N}{A} \]

gdzie:

• N - siła normalna (osiowa),
• A - pole przekroju poprzecznego pręta.

Postać tensora naprężenia i odkształcenia dla pręta rozciąganego/ściskanego osiowo

\[ \begin{aligned} T_\sigma=\left[\begin{array}{ccc} \sigma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \quad T_{\varepsilon}=\left[\begin{array}{ccc} \varepsilon_x & 0 & 0 \\ 0 & \varepsilon_y & 0 \\ 0 & 0 & \varepsilon_z \end{array}\right] \end{aligned} \]

Energia sprężysta dla pręta rozciąganego/ściskanego osiowo

Dla pręta o jednym przedziale charakterystycznym:

\[U=\int_0^L \frac{N^2(x)}{2EA} dx\]

Dla pręta o większej liczbie przedziałów (jeśli zmienia się na długości pręta przekrój lub materiał lub jeżeli w różnych miejscach mamy obciążenie siłami osiowymi) wówczas musimy zrobić sumowanie po wszystkich przedziałach charakterystycznych:

\[U=\sum_{i=1}^n \int_0^{L_i} \frac{N_i^2(x)}{2E_iA_i} dx\]

Kostka naprężeń dla przypadku rozciągania/ściskania osiowego, naprężenia i kierunki główne, koło Mohra

Jeżeli mamy do czynienia z rozciąganiem, wówczas naprężenie \( \sigma_1=\frac{N}{A} \) jest to maksymalne naprężenie, a więc główne. Minimalne naprężenia jest równe \( \sigma_2=0 \).

Jeżeli mamy do czynienia ze ściskaniem, wówczas naprężenie \( \sigma_2=\frac{-N}{A} \) jest to minimalne naprężenie, a więc główne. Maksymalne naprężenia jest równe \( \sigma_1=0 \).

Naprężenia styczne są równe 0.

Rys. 5. Kostki naprężeń przy rozciąganiu

a) naprężenia główne

b) kostka obrócona o 45 stopni - stan z maksymalnymi naprężeniami stycznymi

Rozważmy jednak jeszcze przekrój nachylony pod kątem \( 45° \) do osi pręta, ponieważ w tym przekroju występują w pręcie rozciąganym/ściskanym maksymalne naprężenia styczne.

Wzór na maksymalne i minimalne naprężenia styczne w płaskim stanie naprężenia:

\[ \begin{aligned} & \tau_{\max }=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2}=\frac{\sigma}{2}, \\ & \tau_{\min }=-\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2}=\frac{- \sigma}{2} \end{aligned} \]

Skąd wiemy, że maksymalne naprężenie styczne w tym przypadku wystąpi pod kątem \( 45° \)?

Jeśli wiemy, że wartość maksymalnego naprężenia stycznego wynosi \( \tau_{max}=\frac{\sigma}{2} \) oraz że \( \sigma_1=\sigma \) i \( \sigma_2=0 \), gdzie \( \sigma=\frac{N}{A} \) to skorzystamy ze wzoru opisującego stan naprężenia w przekroju nachylonym pod kątem \( \alpha \) do kierunku większego naprężenia głównego:

\[ \tau_\alpha=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2} \cdot \sin (2 \alpha) \]

podstawiamy dane:

\[ \frac{\sigma}{2}=\frac{\sigma-0}{2} \cdot \sin (2 \alpha) \quad |:\frac{\sigma}{2} \] \[ 1=\sin (2 \alpha) \quad | \arcsin( ) \] \[ \arcsin(1) = 2 \alpha \] \[ 90° = 2 \alpha \] \[ \alpha = 45° \]

Jakie są w takim razie naprężenia normalne w przekroju obróconym o \( 45° \)? Określa to wzór:

\[ \sigma_\alpha=\sigma_1 \cos ^2 \alpha+\sigma_2 \sin ^2 \alpha=\frac{\sigma_1+\sigma_2}{2}+\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2} \cos (2 \alpha) \]

podstawiamy dane:

\[ \sigma_\alpha=\sigma \cos ^2 (45°) +0 \cdot \sin ^2 \alpha=\frac{\sigma}{2} \]

Koło Mohra

Rys. 6. Koło Mohra - rozciąganie osiowe