Moment skręcający jest nadawany na wał przez siłę P

\begin{aligned} M_{s}=P \cdot r=20 \cdot 0,3=6 \mathrm{kNm} \end{aligned}

Siła Q na ramieniu promienia koła pasowego odbiera moment skręcający.

\begin{aligned} M_{s}=Q \cdot 2 \cdot r=Q \cdot 2 \cdot 0,3=0,6 Q \rightarrow Q=10 k N \end{aligned}

Mamy do czynienia ze zginaniem wału w dwóch płaszczyznach oraz skręcaniem.

Wykres momentu skręcającego

Moment gnący \(M_y\).

W celu wyznaczenia momentu gnącego działającego na osi Y obliczamy równowagę oraz wykresy momentu zginającego od obciążeń na osi Z.

Liczymy reakcje w kierunku osi z

\begin{aligned} &\sum M_{B}=0 \\ &R_{A z} \cdot 2-10 \cdot 1,5=0 \\ &R_{A z}=7,5 k N \\ &\sum F_{z}=0 \\ &R_{A z}-10-R_{B z}=0 \\ &R_{B z}=2,5 k N \end{aligned}

Zapisujemy funkcje momentu gnącego \(M_y\)

\begin{aligned} &x_{1} \in(0 ; 0,5) \\ &M\left(x_{1}\right)=R_{A z} \cdot x_{1} \\ &M(0)=0 k N m \\ &M(0,5)=3,75 k N m \\ &x_{2} \in(0,5 ; 2) \\ &M\left(x_{2}\right)=R_{A z} \cdot x_{2}-10 \cdot\left(x_{2}-0,5\right) \\ &M(0,5)=3,75 k N m \\ &M(1,5)=1,25 k N m \\ &M(2)=0 k N m \end{aligned}

Moment gnący M_z

Liczymy reakcje w kierunku osi y

\begin{aligned} &\sum M_{B}=0 \\ &R_{A y} \cdot 2-20 \cdot 0,5=0 \\ &R_{A y}=5 k N \\ &\sum F_{y}=0 \\ &R_{A y}-20+R_{B y}=0 k N \\ &R_{B y}=15 k N \end{aligned}

Zapisujemy funkcje momentu gnącego \(M_z\)

\begin{aligned} &x_{1} \in(0 ; 1,5) \\ &M\left(x_{1}\right)=R_{A y} \cdot x_{1} \\ &M(0)=0 k N m \\ &M(0,5)=2,5 k N m \\ &M(1,5)=7,5 k N m \\ &x_{2} \in(1,5 ; 2) \\ &M\left(x_{2}\right)=R_{A y} \cdot x_{2}-20 \cdot\left(x_{2}-1,5\right) \\ &M(1,5)=7,5 k N m \\ &M(2)=0 k N m \end{aligned}

Moment gnący wypadkowy

Liczymy wypadkową wartość momentu gnącego i rysujemy wykres. Warto zwrócić uwagę na nieliniowy przebieg wykresu w miejscu w przedziale BC.

\begin{aligned} &M_{g}=\sqrt{M_{y}^{2}+M_{z}^{2}} \\ &M_{g}^{A}=0 \\ &M_{g}^{C}=\sqrt{3,75^{2}+2,5^{2}}=4,51 \mathrm{kNm} \\ &M_{g}^{D}=\sqrt{1,25^{2}+7,5^{2}}=7,60 \mathrm{kNm} \\ &M_{g}^{B}=0 \end{aligned}

Moment zastępczy

Liczymy wartość momentu zastępczego w punktach charakterystycznych.

\begin{aligned} &M_{z a s}=\sqrt{M_{g}^{2}+\frac{3}{4} M_{s}^{2}} \\ &M_{z a s}^{A}=0 k N m \\ &M_{z a s}^{C A}=\sqrt{4,51^{2}+\frac{3}{4} \cdot 0^{2}}=4,51 k N m \\ &M_{z a s}^{C D}=\sqrt{4,51^{2}+\frac{3}{4} \cdot 6^{2}}=6,88 k N m \\ &M_{z a s}^{D C}=\sqrt{7,60^{2}+\frac{3}{4} \cdot 6^{2}}=9,21 k N m \\ &M_{z a s}^{D B}=\sqrt{7,60^{2}+\frac{3}{4} \cdot 0^{2}}=7,60 k N m \\ &M_{z a s}^{D}=0 k N m \end{aligned}

Wymiarujemy wał na maksymalny moment zastępczy.

\begin{aligned} &M_{z a s}^{\max }=9,21 k N m \\ &d \geq \sqrt[3]{\frac{32 M_{z a s}}{\pi \cdot k_{g}}} \\ &d \geq \sqrt[3]{\frac{32 \cdot 9,21 \cdot 10^{3}}{\pi \cdot 60 \cdot 10^{6}}} \\ &d \geq 0,116 m \\ &d=12 \mathrm{~cm} \end{aligned}

Hipotezy wytężeniowe

Wytrzymałość materiałów - Hipotezy wytężeniowe - Przykład 4

Przykład 4