W tym przykładzie nie da się z góry powiedzieć w którym punkcie wystąpi maksymalne ugięcie, ale tym problemem zajmiemy się później.

Do jego obliczenia skorzystamy z Metody Clebscha.

\begin{aligned} &\sum M_B=0\\ &10+V_A\cdot 5-10\cdot 2,5-5\cdot 5\cdot 2,5=0\\ &V_A=15,5\ kN\\ \\ &I_{yc}=\frac{a\cdot (3a)^3}{12}=2,25a^4\\ \end{aligned}

\begin{aligned} &EIw ''=-Mg\\ &Mg=V_{A}x+10\cdot x^0-\frac{1}{2}\cdot 5x^2-10\cdot (x-2,5)\\ &EIw''=-15,5x-10\cdot x^0+2,5x^2+10\cdot (x-2,5)\\ &EIw'=-\frac{15,5}{2}x^2-10x+\frac{2,5}{3}x^3+\frac{10}{2}(x-2,5)^2+C\\ &EIw=-\frac{15,5}{6}x^3-\frac{10}{2}x^2+\frac{2,5}{12}x^4+\frac{10}{6}(x-2,5)^3+Cx+D\\ \end{aligned}

Warunki brzegowe

\begin{aligned} &w(0)=0\\ &D=0\\ &w(5)=0\\ &-\frac{15,5}{6}\cdot 5^3-\frac{10}{2}\cdot 5^2+\frac{2,5}{12}\cdot 5^4+\frac{10}{6}(5-2,5)^3+5C=0\\ &5C=\frac{875}{3}\\ &C=\frac{175}{3}\\ \end{aligned}

Maksymalne (ekstremalne) ugięcie wystąpi w tym punkcie przedziału gdzie zeruje się pierwsza pochodna funkcji ugięcia, czyli tam, gdzie zeruje się kąt ugięcia. W analizowanym przykładzie będzie to:

\begin{aligned} &x_1=-6,22\ m\\ &x_2=2,44\ m\\ &x_3=7,09\ m\\ \\ &x_2\in (0; 5)\\ \\ &w_{max}=\frac{w(2,44)}{EI}=-\frac{15,5}{6}\cdot 2,44^3-\frac{10}{2}\cdot 2,44^2+\frac{2,5}{12}\cdot 2,44^4+\frac{175}{3}\cdot 2,44=\frac{82,42}{EI}\\ \end{aligned}

Warunek z treści zadania

\begin{aligned} &w_{max}\le w_{dop}\\ \\ &\frac{82,42\cdot 10^3}{200\cdot 10^9\cdot 2,25a^4}\le 0,01\\ &\sqrt[4]{1,83\cdot 10^{-5}}\\ \\ &a\ge 0,0654\ m\\ &a=7\ cm\\ \end{aligned}

Ugięcia

Wytrzymałość materiałów - Ugięcia - Przykład 4

Przykład 4