Reakcje

\begin{aligned} &\sum{M_{A}}=0 & 6\cdot 6\cdot 3-6\cdot V_B+10\cdot 8=0 & V_B=31,33\ kN\\ &\sum{M_{B}}=0 & V_A\cdot 6-6\cdot 6\cdot 3+10\cdot 2=0 & V_A=14,67\ kN\\ &\sum{Y}=0 & V_A+V_B-6\cdot 6-10=0 & \ L=P\\ \end{aligned}

Wykres sił poprzecznych i momentów zginających

Wymiarowanie

Wiemy, że dla dwuteownika odległość od środka ciężkości do włókien górnych będzie MNIEJSZA niż odległość do włókien dolnych, wobec czego większe naprężenia wystąpią na włóknach dolnych. W przekroju alfa-alfa moment zginający jest mniejszy od momentu zginającego w przekroju beta-beta. W przekroju alfa-alfa rozciągane są włókna dolne, czyli włókna z założenia bardziej obciążone. Wytrzymałość na rozciąganie jest mniejsza niż wytrzymałość na ściskanie, więc ten warunek może być decydujący, ponieważ nie dość że naprężenia rozciągające są maksymalnymi naprężeniami w tym przekroju, to jeszcze wytrzymałość na rozciąganie jest mniejsza niż na ściskanie. Mimo, że w przekroju beta-beta sytuacja jest odwrotna, to trzeba sprawdzić również ten przekrój, ponieważ moment gnący jest większy.

\begin{aligned}\\ &z_1=6,5a & A_1=5a^2\\ &z_2=3a & A_2=6a^2\\ &z_c=\frac{z_1\cdot A_1+z_2\cdot A_2}{A_1+A_2}=4,59a\\ &I_{y_c}=I_{y_1}+A_1\cdot (z_1-z_c)^2+I_{y_2}+A_2\cdot (z_2-z_c)^2=\\ &\frac{5a\cdot (1a)^3}{12}+5a^2\cdot (6,5a-4,59a)^2+\frac{1a\cdot (6a)^3}{12}+6a^2\cdot (3a-4,59a)^2=51,826a^4\\ &W_A=\frac{I_{y_c}}{z_A}=\frac{51,826}{4,59}a^3=11,29a^3\\ &W_B=\frac{I_{y_c}}{z_B}=\frac{51,826}{7-4,59}a^3=21,50a^3\\ \end{aligned}

Naprężenia we włóknach rozciąganych (A) przyrównujemy do wytrzymałości na rozciąganie, a we włóknach ściskanych (B) – na ściskanie.

\begin{aligned}\\ &\alpha – \alpha \\ &\frac{M_{\alpha \alpha}}{W_A}\le k_r & \frac{18\cdot 10^3}{11,29a^3}\le 120\cdot 10^6 & a\ge 0,0237\\ &\frac{M_{\alpha \alpha}}{W_B}\le k_c & \frac{18\cdot 10^3}{21,5a^3}\le 160\cdot 10^6 & a\ge 0,0174\\ \end{aligned}

Tu sytuacja jest odwrotna, rozciągane są włókna górne (B), a ściskane dolne (A).

\begin{aligned}\\ &\beta – \beta\\ &|\frac{M_{\beta \beta}}{W_A}|\le k_c & \frac{20\cdot 10^3}{11,29a^3}\le 160\cdot 10^6 & a\ge 0,0223\\ &|\frac{M_{\beta \beta}}{W_B}|\le k_r & \frac{20\cdot 10^3}{21,5a^3}\le 120\cdot 10^6 & a\ge 0,0198\\ \\ &a=0,025\ m = 25\ mm\\ \end{aligned}

Dla zwymiarowanego przekroju naprężenia wynoszą:

\begin{aligned}\\ &\alpha – \alpha \\ &\sigma_A=102,04\ MPa\\ &\sigma_B=53,58\ MPa\\ \\ &\beta – \beta \\ &\sigma_A=113,375\ MPa\\ &\sigma_B=59,53\ MPa\\ \\ \end{aligned}

Wykresy naprężeń

Zginanie

Wytrzymałość materiałów - Zginanie - Przykład 9

Przykład 9