Opisujemy punkty charakterystyczne

Stopień statycznej niewyznaczalności rusztu przegubowego można policzyć osobno dla każdej belki i do tego dodać liczbę połączeń między belkami - ta suma to SSN całego rusztu.
\begin{array}{l} SSN=0^{AB}+(-1)^{CD}+0^{EF}+(-1)^{GJ}+4^{D,F,G,H}=2 \\ \end{array} Przyjmujemy układ podstawowy metody sił UPMS
Schemat pracy: belka AB oraz EF są stabilne. Belce CD oraz GJ brakuje po jednym podparciu.
Zarówno jedna jak i druga belka mają do wyboru dwa punkty styku z belkami, na których się mogą podeprzeć.
"Postawimy" belkę CD na belce AB (podparcie w punkcie D).
Belkę GJ możemy postawić teraz albo na belce CD, albo na belce EF. Postawmy ją na belce EF, a rozetnijmy połączenie w punkcie G.
Rozetniemy też połączene w punkcie F między belkami stabilnymi.
W miejscach rozcięcia przykładamy na obu belkach przeciwstawnie zwrócone siły hiperstatyczne.

UPMS rysuję już obracając wszystkie belki osobno do płaszczyzny kartki.

UPMS

Rysujemy teraz stany jednostkowe i stan P

Musimy pamiętać, że w każdym stanie obliczamy reakcję \( V_H \) z belki GJ i przekazujemy ją na belkę EF z przeciwnym zwrotem
oraz reakcję \( V_D \) z belki CD i przekazujemy je w postaci obciążenia z przeciwnym zwrotem na belkę AB.

stan \( x_1=\overline{1} \)

stan \( x_2=\overline{1} \)

stan P

Równanie kanoniczne metody sił

\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l} \delta_{11} \cdot x_1+\delta_{12} \cdot x_2+\delta_{1 p}=0 \\ \delta_{21} \cdot x_1+\delta_{22} \cdot x_2+\delta_{2 p}=0 \end{array}\right. \\ \end{aligned}

Współczynniki i wyrazy wolne równania kanonicznego

\begin{gathered} \delta_{11}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\begin{array}{l} \frac{1}{3} \cdot 1.83 \cdot 1.83 \cdot 6+\frac{1}{3} \cdot 1.83 \cdot 1.83 \cdot 26+\frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16+\frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 16 \cdot 10 +\\ +\frac{1}{3} \cdot 3.75 \cdot 3.75 \cdot 6+\frac{1}{3} \cdot 3.75 \cdot 3.75 \cdot 10+\frac{1}{3} \cdot 15.6 \cdot 15.6 \cdot 6 \end{array}\right)= \frac{2816.108}{\mathrm{EI}} \\ \delta_{22}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 6.875 \cdot 6.875 \cdot 22+\frac{1}{3} \cdot 6.875 \cdot 6.875 \cdot 10+\frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16\right)= \frac{1869.5}{\mathrm{EI}} \end{gathered} \begin{aligned} & \delta_{12}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\begin{array}{l} \frac{-1}{3} \cdot 1.83 \cdot 1.875 \cdot 6-\frac{1}{3} \cdot 1.83 \cdot 16 \cdot 1.875-\frac{1}{6} \cdot 1.83 \cdot 16 \cdot 6.875 + \\ +\frac{-1}{3} \cdot 0.703 \cdot 16 \cdot 6.875-\frac{1}{6} \cdot 0.703 \cdot 16 \cdot 1.875-\frac{1}{3} \cdot 0.703 \cdot 10 \cdot 6.875 +\\ +\frac{-1}{3} \cdot 15.6 \cdot 6 \cdot 16-\frac{1}{6} \cdot 15.6 \cdot 6 \cdot 10 \end{array}\right)= \frac{-759.31}{\mathrm{EI}} \\ & \delta_{21}=\delta_{12} \\ & \delta_{1 \mathrm{p}}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\begin{array}{l} \frac{-1}{3} \cdot 16 \cdot 192 \cdot 16-\frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 192 \cdot 10 + \\ +\frac{-1}{3} \cdot 15.6 \cdot 6 \cdot 1211.2-\frac{1}{6} \cdot 15.6 \cdot 6 \cdot 400+\frac{1}{3} \cdot 15.6 \cdot \frac{8 \cdot 6^2}{8} \cdot 6 \end{array}\right)= \frac{-69530.24}{\mathrm{EI}} \end{aligned} \begin{aligned} \delta_{2 \mathrm{p}}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\begin{array}{l} \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 6 \cdot 1211.2+\frac{1}{6} \cdot 16 \cdot 6 \cdot 400-\frac{1}{3} \cdot 16 \cdot \frac{8 \cdot 6^2}{8} \cdot 6 + \\ +\frac{1}{3} \cdot 10 \cdot 6 \cdot 400+\frac{1}{6} \cdot 10 \cdot 6 \cdot 1211.2-\frac{1}{3} \cdot 10 \cdot \frac{8 \cdot 6^2}{8} \cdot 6 + \\ +\frac{1}{3} \cdot 10 \cdot 10 \cdot 400-\frac{1}{3} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \frac{8 \cdot 10^2}{8} \end{array}\right)= \frac{73398.4}{\mathrm{EI}} \end{aligned}

Rozwiązanie równania kanonicznego

\begin{array}{l} \mathrm{x}_1=15,84 \mathrm{kN} \\ \mathrm{x}_2=-32,83 \mathrm{kN} \end{array}

Moment ostateczny

\( { Most }=\overline{M_1} \cdot x_1+\overline{M_2} \cdot x_2+M_p \)

Rozpisanie ostatecznych momentów ze wzorów superpozycyjnych

\begin{array}{|l|l|} \hline \text { Belka AB } & \text { Belka GJ } \\ \mathrm{M}_{\mathrm{D}}=1.83 \cdot \mathrm{x}_1-1.875 \cdot \mathrm{x}_2=90.54 & \mathrm{M}_{\mathrm{H}}=16 \cdot \mathrm{x}_1-192=61.42 \\ \mathrm{M}_{\mathrm{F}}=0.703 \cdot \mathrm{x}_1-6.875 \cdot \mathrm{x}_2=236.83 & \text { Belka EF } \\ \text { Belka CD } & \mathrm{M}_{\mathrm{E}}=15.6 \cdot \mathrm{x}_1-16 \cdot \mathrm{x}_2-1211.2=-438.87 \\ \mathrm{M}_{\mathrm{G}}=3.75 \cdot \mathrm{x}_1=59.4 & \mathrm{M}_{\mathrm{F}}=-10 \cdot \mathrm{x}_2-400=-71.72 \\ \hline \end{array}

Ostateczny wykres momentów

Siły tnące

Obliczymy siły tnące poprzez wycięcie i równowagę każdego elementu rusztu (korzystając z Most)

belka E-F

\begin{aligned} & \sum M_E=0 \\ & -438,87+71,72+ \\ & +8 \cdot 6 \cdot 3+Q_H \cdot 6=0 \\ & Q_H=37,19 \mathrm{kN} \\ & \Sigma y=0 \\ & Q_E-8 \cdot 6-Q_H=0 \\ & Q_E=85,19 \mathrm{kN} \end{aligned}

\begin{aligned} & \sum M_H=0 \\ & -71,72+8 \cdot 10 \cdot 5+Q_F \cdot 10=0 \\ & Q_F=-32,83 \mathrm{kN} \\ & \Sigma y=0 \\ & Q_H-8\cdot 10-Q_F=0 \\ & Q_H=47,17 \mathrm{kN} \end{aligned}

\begin{aligned} & \frac{47,17}{x}=\frac{32,83}{10-x} \\ & 32,83 x=471,7-47,17 x \\ & 80 x=471,7 \\ & x=5,9 m \\ & \text { Mex }=-71,72+Q_H \cdot x-8 \cdot \frac{x^2}{2}= \\ & =67,34 \mathrm{kNm} \end{aligned}

belka A-B

\begin{aligned} & \sum M_A=0 \\ & -90,54+ \\ & +Q_D \cdot 6=0 \\ & Q_D=15,09 \mathrm{kN} \\ & Q_A=Q_D \end{aligned}

\begin{aligned} & \Sigma M_D=0 \\ & 90,54-236,83 +\\ & +Q_F \cdot 16=0 \\ & Q_F=9,14 \mathrm{kN} \\ & Q_D=Q_F \end{aligned}

\begin{aligned} & \sum M_F=0 \\ & 236,83+Q_8 \cdot 10=0 \\ & Q_B=-23,68 \mathrm{kN} \end{aligned}

belka C-D

\begin{aligned} & \sum M_C=0 \\ & -59,4+Q_G \cdot 6=0 \\ & Q_G=9,9 \mathrm{kN} \\ & Q_C=Q_G \end{aligned}

\begin{aligned} & \sum M_G=0 \\ & 59,4+Q_D \cdot 10=0 \\ & Q_D=-5,94 \mathrm{kd} \\ & Q_G=Q_D \end{aligned}

belka G-J

\begin{aligned} & \sum M_G=0 \\ & -61,42+Q_H \cdot 16=0 \\ & Q_H=3,84 \mathrm{kN} \\ & Q_G=Q_H \\ & \end{aligned}

\begin{aligned} & \Sigma M_H=0 \\ & 61,42+Q_J \cdot 10=0 \\ & Q_J=-6,14 \mathrm{kN} \end{aligned}

Ostateczny wykres sił tnących

Sprawdzenie równowagi węzłów

Sprawdzenie kinematyczne

\( \delta_i=\int \frac{Most \cdot \overline{M_i}}{EI} d S=0 \)
\begin{aligned} & \delta_1=\frac{1}{\mathrm{EI}}\left(\begin{array}{l} \frac{1}{3} \cdot 90.54 \cdot 1.83 \cdot 6+\frac{1}{3} \cdot 90.54 \cdot 1.83 \cdot 16+\frac{1}{6} \cdot 90.54 \cdot 0.703 \cdot 16 + \\ +\frac{1}{3} \cdot 236.83 \cdot 0.703 \cdot 16+\frac{1}{6} \cdot 236.83 \cdot 1.83 \cdot 16 + \\ +\frac{1}{3} \cdot 236.83 \cdot 0.703 \cdot 10+\frac{1}{3} \cdot 61.42 \cdot 16 \cdot 16+\frac{1}{3} \cdot 61.42 \cdot 16 \cdot 10 + \\ +\frac{1}{3} \cdot 59.4 \cdot 3.75 \cdot 6+\frac{1}{3} \cdot 59.4 \cdot 3.75 \cdot 10 + \\ +\frac{-1}{3} \cdot 438.87 \cdot 15.6 \cdot 6-\frac{1}{6} \cdot 71.72 \cdot 15.6 \cdot 6+\frac{1}{3} \cdot \frac{8 \cdot 6^2}{8} \cdot 15.6 \cdot 6 \end{array}\right)= \frac{-0.034}{\mathrm{EI}} \sim 0 \\ & \delta_2=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\begin{array}{l} \frac{-1}{3} \cdot 90.54 \cdot 1.875 \cdot 6-\frac{1}{3} \cdot 90.54 \cdot 1.875 \cdot 16-\frac{1}{6} \cdot 90.54 \cdot 6.875 \cdot 16 + \\ +\frac{-1}{3} \cdot 236.83 \cdot 6.875 \cdot 16-\frac{1}{6} \cdot 236.83 \cdot 1.875 \cdot 16-\frac{1}{3} \cdot 236.83 \cdot 6.875 \cdot 10 + \\ +\frac{1}{3} \cdot 438.87 \cdot 16 \cdot 6+\frac{1}{6} \cdot 71.72 \cdot 16 \cdot 6-\frac{1}{3} \cdot \frac{8 \cdot 6^2}{8} \cdot 16 \cdot 6 + \\ +\frac{1}{3} \cdot 71.72 \cdot 10 \cdot 6+\frac{1}{6} \cdot 438.87 \cdot 10 \cdot 6-\frac{1}{3} \cdot \frac{8 \cdot 6^2}{8} \cdot 10 \cdot 6 + \\ +\frac{1}{3} \cdot 71.72 \cdot 10 \cdot 10-\frac{1}{3} \cdot \frac{8 \cdot 10^2}{8} \cdot 10 \cdot 10 \end{array}\right)= \frac{-0.302}{\mathrm{EI}} \\ & \end{aligned} Nasuwa się zasadne pytanie czy wynik sprawdzenia \( \frac{-0,302}{EI} \) to jest wynik który możemy uznać za bliski zera. Jeśli mamy wątpliwość to należy podzielić ten wynik przez \( \delta_{2p} \), przyjmuje się że wynik tego iloczynu w procentach powinien być mniejszy niż 1,5
\( \left|\frac{\delta_2}{\delta_{2 p}}\right|=0.0004 \%<1,5 \% \)

Ruszty

Mechanika budowli - Ruszty - Przykład 5

Przykład 5