Wzór Simpsona

Do całkowania graficznego dwóch dowolnych figur (z których obie są liniowe lub jedna jest liniowa, a druga paraboliczna) można użyć wzoru zapisanego poniżej:

\[ u = \frac{L}{6} \cdot \left( a \cdot A + b \cdot B + 4 \cdot c \cdot C \right) \]

Legenda:

  • \(L\) – długość przedziału (np. przęsła belki),
  • \(a, b, c\) – rzędne wykresu funkcji liniowej w punktach:
    • \(a\) – lewy koniec,
    • \(b\) – prawy koniec,
    • \(c\) – środek przedziału.
  • \(A, B, C\) – rzędne wykresu funkcji nieliniowej (np. rzeczywistego momentu zginającego) w tych samych punktach.

gdzie:
- rzędną "c" dla wykresu zmieniającego się liniowo można obliczyć jako średnią skrajnych wartości \( c=\frac{a+b}{2} \) - nawet jeśli jedna jest "ujemna", a druga dodatnia - wtedy uwzględniamy znaki;
- rzędną "C" dla wykresu zmieniającego się parabolczinie można obliczyć jako \( C=\frac{A+B}{2} \pm \frac{q\cdot L^2}{8} \)

Powyższy wzór jest modyfikacją klasycznego wzoru Simpsona, stosowanego do przybliżonego obliczania całki, gdy funkcję można aproksymować parabolą lub prostą.

Wzór Simpsona (klasyczny)

Przybliżenie całki funkcji \( f(x) \) na odcinku \( [a, b] \) wyraża się wzorem: \[ \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b - a}{6} \left[ f(a) + 4f\left(\frac{a + b}{2}\right) + f(b) \right] \]

Uogólnienie dla dwóch funkcji (liniowej i nieliniowej)

Jeśli mamy dwie funkcje \( f(x) \) oraz \( g(x) \), z których:

  • \( f(x) \) – funkcja liniowa
  • \( g(x) \) – funkcja nieliniowa (np. paraboliczna, rzeczywisty moment zginający)
to przybliżenie całki iloczynu: \[ \int_0^L f(x)\cdot g(x)\,dx \] można zapisać w postaci: \[ \int_0^L f(x)\cdot g(x)\,dx \approx \frac{L}{6}\left[f(0)\cdot g(0) + 4 f\left(\frac{L}{2}\right)\cdot g\left(\frac{L}{2}\right) + f(L)\cdot g(L)\right] \] Co po oznaczeniu:
  • \( a = f(0) \), \( c = f\left(\frac{L}{2}\right) \), \( b = f(L) \)
  • \( A = g(0) \), \( C = g\left(\frac{L}{2}\right) \), \( B = g(L) \)
daje dokładnie: \[ u = \frac{L}{6}(a \cdot A + b \cdot B + 4 \cdot c \cdot C) \]

Komentarz do zastosowania

Ten wzór jest bardzo użyteczny w analizie graficznej momentów zginających w metodach energetycznych, takich jak metoda Wereszczagina czy Castigliano. Umożliwia szybkie przybliżone całkowanie iloczynu dwóch wykresów – z których jeden (zazwyczaj moment jednostkowy) ma charakter liniowy.

Kiedy wzór jest dokładny?

  • Gdy jedna z funkcji jest liniowa
  • A druga funkcja jest paraboliczna (czyli wielomian drugiego stopnia)

W takim przypadku wzór daje dokładny wynik całki bez żadnego błędu przybliżenia.

Przykładowe użycie wzoru możesz zobaczyć na przykład w tym wstępie teoretycznym do metody trzech momentów (pierwszy przykład).

Jeśli chodzi o znakowanie a,b, A,B,q - zobacz poniższe przykłady

Rys1. Znakowanie A,B,q, a,b dla wykresu parabolicznego i liniowego