Zginanie proste - wzór na naprężenia

1. Wprowadzenie

Zginanie proste to jeden z podstawowych przypadków obciążenia belek, w którym moment zginający działa w jednej płaszczyźnie, powodując powstanie naprężeń normalnych w przekroju poprzecznym belki. Celem tego wyprowadzenia jest uzyskanie zależności opisującej rozkład tych naprężeń w przekroju belki.

2. Założenia

Przyjmujemy następujące założenia:

- Materiał belki jest jednorodny i izotropowy, co oznacza, że jego właściwości są takie same we wszystkich kierunkach.
- Obowiązuje prawo Hooke'a, czyli istnieje liniowa zależność między naprężeniem a odkształceniem.
- Przekroje poprzeczne belki, które przed odkształceniem były płaskie i prostopadłe do osi podłużnej, pozostają płaskie i prostopadłe także po odkształceniu (hipoteza płaskich przekrojów).
- Belka jest smukła, co oznacza, że jej długość jest znacznie większa niż wymiary przekroju poprzecznego.

3. Analiza geometryczna odkształcenia

Rozważmy belkę poddaną momentowi zginającemu M, który powoduje jej wygięcie w łuk o promieniu krzywizny ρ. W wyniku tego odkształcenia włókna znajdujące się powyżej pewnej warstwy środkowej ulegają skróceniu (ściskanie), a te poniżej – wydłużeniu (rozciąganie). Warstwa, która nie ulega odkształceniu, nazywana jest warstwą obojętną, a jej przecięcie z przekrojem poprzecznym to oś obojętna.

3.1. Odkształcenie włókien

Włókno w odległości $𝑦$ od osi obojętnej ma odkształcenie:

$𝜀 = 𝑦 𝜌$

$𝜀$ – odkształcenie względne włókna

4. Zależność między naprężeniem a odkształceniem

Z prawa Hooke'a:

$𝜎 = 𝐸 \cdot 𝜀$

Podstawiając:

$𝜎 = 𝐸 \cdot 𝑦 𝜌$

5. Warunki równowagi

Suma momentów naprężeń względem osi obojętnej równa się momentowi zginającemu:

$𝑀 = \int 𝐴 𝜎 𝑦 𝑑 𝐴$

Podstawiając $𝜎$ :

$𝑀 = \int 𝐴 (𝐸 \cdot 𝑦 𝜌) 𝑦 𝑑 𝐴 = 𝐸 𝜌 \int 𝐴 𝑦 2 𝑑 𝐴$

$𝑀 = 𝐸 \cdot 𝐼 𝜌 \Rightarrow 1 𝜌 = 𝑀 𝐸 \cdot 𝐼$

6. Ostateczny wzór na naprężenia

Podstawiając do wzoru na $𝜎$ :

$𝜎 = 𝐸 \cdot 𝑦 \cdot 𝑀 𝐸 \cdot 𝐼 = 𝑀 \cdot 𝑦 𝐼$

Ostateczny wzór:

$𝜎 = 𝑀 \cdot 𝑦 𝐼$

Gdzie:

$𝜎$ – naprężenie normalne [Pa]
$𝑀$ – moment zginający [Nm]
$𝑦$ – odległość od osi obojętnej [m]
$𝐼$ – moment bezwładności względem osi obojętnej [m⁴]

7. Podsumowanie

Wyprowadzenie wzoru opiera się na hipotezie płaskich przekrojów, analizie geometrii odkształcenia, prawie Hooke'a i równowadze momentów. Wzór ten jest podstawą do projektowania belek w mechanice i wytrzymałości materiałów.

Zarejestruj się