Stateczność i wyboczenie - wstęp teoretyczny

Podstawowe wzory

Siła krytyczna

P_{kr}=\frac{\pi^2 EI_{min}}{l_w^2}

Gdzie:

P_{kr}

– siła krytyczna dla wyboczenia sprężystego (siła Eulerowska)

E

– moduł Young’a

I_{min}

– minimalny moment bezwładności przekroju

l_w

– długość wyboczeniowa (inaczej: długość swobodna, długość redukowana)

l_w=alpha l

Promień bezwładności

i_{min}=sqrt{frac{I_{min}}{A}}

Smukłość pręta

lambda=frac{l_w}{i_{min}}

alpha=2

alpha=1

alpha=frac{1}{sqrt{2}}=0,7

alpha=frac{1}{2}

M=Pw

EJw''=-M

w''=-frac{M}{EJ}

w''=-frac{Pw}{EJ}

Wprowadzamy oznaczenie:

k^2=frac{P}{EJ}

w''=-k^2w

w''+k^2w=0

Otrzymaliśmy równianie różniczkowe, jego rozwiązaniem jest:

w=Asin(kx)+Bcos(kx)

Stałe $A, B$ są uzależnione od warunków brzegowych. Dla tego przypadku:

x=0 => w=0

x=l => w=0

Stąd:

Asin(kl)=0

B=0

Przypadek $A=0$ nie jest dla nas interesujący, ponieważ odpowiada on stanowi równowagi pręta – jeżeli $A=0$ wówczas $w=0$ na całej długości pręta.

sin(kl)=0

kl=npi

Wracając do wzoru na $k$ otrzymujemy

k^2=frac{P}{EJ}

n^2{pi}^2=frac{P}{EJ}

P_{kr}=frac{{pi}^2EI}{l^2}

[/spoiler]