Metoda ważonych ruchomych najmniejszych kwadratów (WRNK) (ang. Moving Weighted Least Squares MWLS) jest stosunkowo nową i zaawansowaną metodą aproksymacji, która jest stosowana np. w bezelementowej metodzie Galerkina (BMG).
Nie będziemy analizować matematycznego tła tej metody, ponieważ jest ono mocno skomplikowane i szczerze, nie do końca potrzebne do nauki jej stosowania.
Tok rozwiązania dla przypadku 1D (jednowymiarowego):
-
Zapisujemy wartość funkcji korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora (w praktyce najczęściej Maclaurina, ponieważ w miarę możliwości przyjmujemy \(a=0\)):
\[
\begin{aligned}
f(x) &= f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots \\
&\quad + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \dots \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
\end{aligned}
\]
Dla \( a = 0 \):
\[
\begin{aligned}
f(x) &= f(0) + \frac{f'(0)}{1!} x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \dots \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n
\end{aligned}
\]
Stopień aproksymacji określa ilość elementów, którą badamy, czyli np. dla stopnia aproksymacji \( p=1 \) wzór zapisujemy wyłącznie do pierwszej pochodnej włącznie.
-
Zapisujemy funkcję błędu:
\[
\begin{aligned}
J &= (\tilde{u}_1 - u_1)^2 \cdot \left( \frac{1}{h^{p+1-s}} \right)^2 \\
&\quad + (\tilde{u}_1 - u'_1)^2 \cdot \left( \frac{1}{h^{p+1-s}} \right)^2 \\
&\quad + (\tilde{u}_2 - u_2)^2 \cdot \left( \frac{1}{h^{p+1-s}} \right)^2 + \dots
\end{aligned}
\]
Dla wszystkich elementów, które są znane.
-
Minimalizujemy funkcję błędu względem badanej wartości, np. \( u_1 \):
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{du_1} J = 0
\end{aligned}
\]
I na tej podstawie wyliczamy szukaną wartość.