Wytrzymałość materiałów
Twierdzenie Menabrea-Castigliano
- Wprowadzenie do układów statycznie niewyznaczalnych
- Definicja układów statycznie niewyznaczalnych
- Problem nadmiaru niewiadomych
- Równania równowagi statycznej
- Metody energetyczne jako narzędzie rozwiązania
- Twierdzenie Menabre'a-Castigliano
- Podstawy teoretyczne
- Związek z twierdzeniem Castigliano
- Różniczkowanie energii sprężystej
- Wyznaczanie reakcji nadliczbowych
- Twierdzenie o minimum energii
- Wyprowadzenie wzoru
- Oznaczenia i symbole
- Energia sprężysta układu
- Reakcje statycznie niewyznaczalne
- Sformułowanie twierdzenia Menabre'a
- Układy liniowo-sprężyste
- Warunek zerowania pochodnej cząstkowej
- Zastosowanie w praktyce
Wprowadzenie do układów statycznie niewyznaczalnych
Analiza układów statycznie niewyznaczalnych jest jednym z kluczowych zagadnień w wytrzymałości materiałów i mechanice budowli. W takich układach liczba niewiadomych reakcji przekracza liczbę dostępnych równań równowagi statycznej, co wymaga zastosowania bardziej zaawansowanych metod obliczeniowych. Metody energetyczne, oparte na zasadach zachowania energii, są szczególnie skuteczne w rozwiązywaniu tego typu problemów.
Twierdzenie Menabre'a-Castigliano
Podstawy teoretyczne
Twierdzenie Menabre'a-Castigliano jest rozszerzeniem twierdzenia Castigliano, stosowanym do obliczania przemieszczeń w układach statycznie niewyznaczalnych. Polega ono na różniczkowaniu energii sprężystej układu względem statycznie niewyznaczalnych reakcji. Dzięki temu twierdzeniu można wyznaczyć reakcje, których nie jesteśmy w stanie wyznaczyć z równań równowagi statycznej.
Twierdzenie o minimum energii
Wykorzystując twierdzenie Castigliano do wyznaczania uogólnionych przemieszczeń w miejscu i na kierunku występowania nadliczbowych (reakcji statycznie niewyznaczalnych), gdzie przemieszczenia te nie istnieją, otrzymamy twierdzenie o minimum energii:
\[ \frac{\partial U}{\partial X_{i}}=0 \]gdzie:
- U – energia sprężysta układu jako funkcja obciążeń zewnętrznych i statycznie niewyznaczalnych reakcji układu,
- \(X_i\) – statycznie niewyznaczalna (nadliczbowa) reakcja układu.
Sformułowanie twierdzenia Menabre'a
Twierdzenie to nosi nazwę twierdzenia Menabre'a i formułujemy je następująco:
W układzie liniowo-sprężystym sztywnie podpartym pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu względem wielkości nadliczbowej – statycznie niewyznaczalnej jest równa zero.