Przykład 1

Dla podanego przekroju obciążonego mimośrodowo siłą ściskającą podłużną znaleźć:
– naprężenia w punktach charakterystycznych przekroju,
– narysować bryłę naprężeń (w aksonometrii),
– podać równanie i narysować oś obojętną,
– wyznaczyć rdzeń przekroju.

single-task-hero-img

Rozwiązanie

Charakterystyki geometryczne, centralne momenty bezwładności

Figura 1 - większy prostokąt, Figura 2 - mniejszy prostokąt

𝐼𝑥𝑐=1512312+𝐴1(𝑦1𝑦𝑐)2+86312+𝐴2(𝑦2𝑦𝑐)2=5373,47𝑐𝑚4𝐼𝑦𝑐=1215312+68312=3631𝑐𝑚4

Siła w punkcie D skierowana „za kartkę” (ściskająca) robi momenty Mx i My o zwrotach jak na rysunku poniżej (reguła prawej dłoni).

Wyznaczenie równania osi obojętnej

𝑁=60𝑘𝑁𝑀𝑦=|𝑁|0,075=4,5𝑘𝑁𝑚𝑀𝑥=|𝑁||(0,120,0789)|=2,466𝑘𝑁𝑚𝜎𝑥=601032281042,4661035373,37108𝑦4,51033631108𝑥=0𝑦=2,7𝑥5,7

Dwa dowolne punkty definiują prostą (oś obojętną).

𝑥=1,𝑦=8,4𝑥=1,𝑦=3

Naprężenia w punktach charakterystycznych

𝜎 =601030.023 2,4661035373,37108𝑦 4,51033631108𝑥

Punkt A (x=-4 cm, y=10,11 cm)

𝜎 =2,29𝑀𝑃𝑎

Punkt B (x=4 cm, y=10,11 cm)

𝜎 =12,21𝑀𝑃𝑎

Punkt C (x=4 cm, y=(12-7,89) cm)

𝜎 =9,45𝑀𝑃𝑎

Punkt D (x=7,5 cm, y=(12-7,89) cm)

𝜎 =13,79𝑀𝑃𝑎

Punkt E (x=7,5 cm, y=-7,89 cm)

𝜎 =8,28𝑀𝑃𝑎

Punkt F (x=-7,5 cm, y=-7,89 cm)

𝜎 =10,31𝑀𝑃𝑎

Punkt G (x=-7,5 cm, y=(12-7,89) cm

𝜎 =4,8𝑀𝑃𝑎

Punkt H (x=-4 cm, y=(12-7,89) cm)

𝜎 =0,46𝑀𝑃𝑎

Bryła naprężeń

Rdzeń przekroju

Zaznaczamy styczne do przekroju (fioletowo), dla każdej stycznej wyznaczymy jeden punkt narożny rdzenia przekroju.

𝑖2𝑥=𝐼𝑥𝑐𝐴=23,57𝑐𝑚2𝑖2𝑦=𝐼𝑦𝑐𝐴=15,93𝑐𝑚2

Będziemy korzystać między innymi z równania prostej przez dwa punkty:

𝑦𝑦1=𝑦2𝑦1𝑥2𝑥1(𝑥𝑥1)

oś obojętna D-E

𝑎𝑦=𝑎𝑥=7,5𝑐𝑚𝑦=𝑖𝑥𝑎𝑦=0𝑐𝑚𝑥=𝑖𝑦𝑎𝑥=2,12𝑐𝑚

oś obojętna E-F

𝑎𝑦=7,89𝑐𝑚𝑎𝑥=𝑦=𝑖𝑥𝑎𝑦=2,99𝑐𝑚𝑥=𝑖𝑦𝑎𝑥=0𝑐𝑚

oś obojętna F-G

𝑎𝑦=𝑎𝑥=7,5𝑐𝑚𝑦=𝑖𝑥𝑎𝑦=0𝑐𝑚𝑥=𝑖𝑦𝑎𝑥=2,12𝑐𝑚

oś obojętna G-A

𝑦𝑦𝐺=𝑦𝐴𝑦𝐺𝑥𝐴𝑥𝐺(𝑥𝑥𝐺)𝑥𝐺=7,5𝑐𝑚,𝑦𝐺=4,11𝑐𝑚𝑥𝐴=4𝑐𝑚,𝑦𝐴=10,11𝑐𝑚𝑦=1,71𝑥+16,96𝑎𝑦=16,96𝑐𝑚𝑎𝑥=9,89𝑐𝑚𝑦=𝑖𝑥𝑎𝑦=1,39𝑐𝑚𝑥=𝑖𝑦𝑎𝑥=1,61𝑐𝑚

oś obojętna A-B

𝑎𝑦=10,11𝑐𝑚𝑎𝑥=𝑦=𝑖𝑥𝑎𝑦=2,33𝑐𝑚𝑥=𝑖𝑦𝑎𝑥=0𝑐𝑚

oś obojętna B-D

𝑥𝐵=4𝑐𝑚,𝑦𝐵=10,11𝑐𝑚𝑥𝐷=7,5𝑐𝑚,𝑦𝐷=4,11𝑐𝑚𝑦=1,71𝑥+16,96𝑎𝑦=16,96𝑐𝑚𝑎𝑥=9,89𝑐𝑚𝑦=𝑖𝑥𝑎𝑦=1,39𝑐𝑚𝑥=𝑖𝑦𝑎𝑥=1,61𝑐𝑚

Rdzeń przekroju