Przykład 1

Dla podanego przekroju obciążonego mimośrodowo siłą ściskającą podłużną znaleźć:
– naprężenia w punktach charakterystycznych przekroju,
– narysować bryłę naprężeń (w aksonometrii),
– podać równanie i narysować oś obojętną,
– wyznaczyć rdzeń przekroju.

single-task-hero-img

Rozwiązanie

Charakterystyki geometryczne, centralne momenty bezwładności

Figura 1 - większy prostokąt, Figura 2 - mniejszy prostokąt

𝐼𝑥⁢𝑐=15⋅12312+𝐴1⋅(𝑦1−𝑦𝑐)2+8⋅6312+𝐴2⋅(𝑦2−𝑦𝑐)2=5373,47⁢𝑐⁢𝑚4𝐼𝑦⁢𝑐=12⋅15312+6⋅8312=3631⁢𝑐⁢𝑚4

Siła w punkcie D skierowana „za kartkę” (ściskająca) robi momenty Mx i My o zwrotach jak na rysunku poniżej (reguła prawej dłoni).

Wyznaczenie równania osi obojętnej

𝑁=−60⁢𝑘⁢𝑁𝑀𝑦=−|𝑁|⋅0,075=−4,5⁢𝑘⁢𝑁⁢𝑚𝑀𝑥=−|𝑁|⋅|(0,12−0,0789)|=−2,466⁢𝑘⁢𝑁⁢𝑚𝜎𝑥=−60⋅103228⋅10−4−2,466⋅1035373,37⋅10−8⁢𝑦−4,5⋅1033631⋅10−8⁢𝑥=0𝑦=−2,7⁢𝑥−5,7

Dwa dowolne punkty definiują prostą (oś obojętną).

𝑥=1,𝑦=−8,4𝑥=−1,𝑦=−3

Naprężenia w punktach charakterystycznych

𝜎 =−60⋅1030.023 −2,466⋅1035373,37⋅10−8⁢𝑦 −4,5⋅1033631⋅10−8⁢𝑥

Punkt A (x=-4 cm, y=10,11 cm)

𝜎 =−2,29⁢𝑀⁢𝑃⁢𝑎

Punkt B (x=4 cm, y=10,11 cm)

𝜎 =−12,21⁢𝑀⁢𝑃⁢𝑎

Punkt C (x=4 cm, y=(12-7,89) cm)

𝜎 =−9,45⁢𝑀⁢𝑃⁢𝑎

Punkt D (x=7,5 cm, y=(12-7,89) cm)

𝜎 =−13,79⁢𝑀⁢𝑃⁢𝑎

Punkt E (x=7,5 cm, y=-7,89 cm)

𝜎 =−8,28⁢𝑀⁢𝑃⁢𝑎

Punkt F (x=-7,5 cm, y=-7,89 cm)

𝜎 =10,31⁢𝑀⁢𝑃⁢𝑎

Punkt G (x=-7,5 cm, y=(12-7,89) cm

𝜎 =4,8⁢𝑀⁢𝑃⁢𝑎

Punkt H (x=-4 cm, y=(12-7,89) cm)

𝜎 =0,46⁢𝑀⁢𝑃⁢𝑎

Bryła naprężeń

Rdzeń przekroju

Zaznaczamy styczne do przekroju (fioletowo), dla każdej stycznej wyznaczymy jeden punkt narożny rdzenia przekroju.

𝑖2𝑥=𝐼𝑥⁢𝑐𝐴=23,57⁢𝑐⁢𝑚2𝑖2𝑦=𝐼𝑦⁢𝑐𝐴=15,93⁢𝑐⁢𝑚2

Będziemy korzystać między innymi z równania prostej przez dwa punkty:

𝑦−𝑦1=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1⋅(𝑥−𝑥1)

oś obojętna D-E

𝑎𝑦=∞𝑎𝑥=7,5⁢𝑐⁢𝑚𝑦=−𝑖𝑥𝑎𝑦=0⁢𝑐⁢𝑚𝑥=−𝑖𝑦𝑎𝑥=−2,12⁢𝑐⁢𝑚

oś obojętna E-F

𝑎𝑦=−7,89⁢𝑐⁢𝑚𝑎𝑥=∞𝑦=−𝑖𝑥𝑎𝑦=2,99⁢𝑐⁢𝑚𝑥=−𝑖𝑦𝑎𝑥=0⁢𝑐⁢𝑚

oś obojętna F-G

𝑎𝑦=∞𝑎𝑥=−7,5⁢𝑐⁢𝑚𝑦=−𝑖𝑥𝑎𝑦=0⁢𝑐⁢𝑚𝑥=−𝑖𝑦𝑎𝑥=2,12⁢𝑐⁢𝑚

oś obojętna G-A

𝑦−𝑦𝐺=𝑦𝐴−𝑦𝐺𝑥𝐴−𝑥𝐺⋅(𝑥−𝑥𝐺)𝑥𝐺=−7,5⁢𝑐⁢𝑚,𝑦𝐺=4,11⁢𝑐⁢𝑚𝑥𝐴=−4⁢𝑐⁢𝑚,𝑦𝐴=10,11⁢𝑐⁢𝑚𝑦=1,71⁢𝑥+16,96𝑎𝑦=16,96⁢𝑐⁢𝑚𝑎𝑥=−9,89⁢𝑐⁢𝑚𝑦=−𝑖𝑥𝑎𝑦=−1,39⁢𝑐⁢𝑚𝑥=−𝑖𝑦𝑎𝑥=1,61⁢𝑐⁢𝑚

oś obojętna A-B

𝑎𝑦=10,11⁢𝑐⁢𝑚𝑎𝑥=∞𝑦=−𝑖𝑥𝑎𝑦=−2,33⁢𝑐⁢𝑚𝑥=−𝑖𝑦𝑎𝑥=0⁢𝑐⁢𝑚

oś obojętna B-D

𝑥𝐵=4⁢𝑐⁢𝑚,𝑦𝐵=10,11⁢𝑐⁢𝑚𝑥𝐷=7,5⁢𝑐⁢𝑚,𝑦𝐷=4,11⁢𝑐⁢𝑚𝑦=−1,71⁢𝑥+16,96𝑎𝑦=16,96⁢𝑐⁢𝑚𝑎𝑥=9,89⁢𝑐⁢𝑚𝑦=−𝑖𝑥𝑎𝑦=−1,39⁢𝑐⁢𝑚𝑥=−𝑖𝑦𝑎𝑥=−1,61⁢𝑐⁢𝑚

Rdzeń przekroju