Rozwiązanie
Warto zapoznać się ze wstępem teoretycznym odnośnie łuków kołowych. Ten wstęp jest oparty o częściowe, bardziej szczegółowe omówienie tego przykładu.
Równania równowagi statycznej \begin{aligned} &\sum{x}=0 & H_A-4,698=0 && H_A=4,698 \ kN\\ &\sum{M_A}=0 & 3\cdot 4\cdot 2+1,71\cdot 6-4,698\cdot 2\sqrt3-V_B\cdot 8=0 && V_B=2,248 \ kN\\ &\sum{y}=0 & V_A-3\cdot 4-1,71+2,248=0 && V_A=11,462 \ kN\\ \end{aligned}
Rzutowanie reakcji VB na składowe normalną i tnącą do przekroju myślowego łuku.
Uzależniamy zmienną x i y od kąta alfa.
\begin{aligned} &\frac{x}{4}=cos\alpha\\ &x=4cos\alpha\\ &\frac{y}{4}=sin\alpha\\ &y=4sin\alpha\\ \end{aligned} Funkcje sił wewnętrznych w pierwszym przedziale.
\begin{aligned} &N(\alpha)=-2,248 cos\alpha\\ &T(\alpha)=-2,248 sin\alpha\\ &M(\alpha)=2,248 (4-x)=8,992-8,992 cos\alpha\\ \end{aligned} Sprawdzamy wartości sił wewnętrznych dla kąta alfa co 15 stopni. Wyniki wygodnie zestawić w tabeli.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha\left[{ }^0\right] & \sin \alpha & \cos \alpha & \mathrm{N}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{T}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{M}(\alpha)[\mathrm{kNm}] \\ \hline 0 & 0.000 & 1.000 & 2.248 & 0.000 & 0.000 \\ \hline 15 & 0.259 & 0.966 & 2.171 & -0.582 & 0.306 \\ \hline 30 & 0.500 & 0.866 & 1.947 & -1.124 & 1.205 \\ \hline 45 & 0.707 & 0.707 & 1.590 & -1.590 & 2.634 \\ \hline 60 & 0.866 & 0.500 & 1.124 & -1.947 & 4.496 \\ \hline \end{array}
Funkcje sił wewnętrznych w drugim przedziale.
\begin{aligned} &N(\alpha)=-2,248 cos\alpha+1,71 cos\alpha-4,698 sin\alpha=-0,538 cos\alpha-4,698 sin\alpha\\ &T(\alpha)=-2,248\cdot sin\alpha+1,71\cdot sin\alpha+4,698 cos\alpha=-0,583 sin\alpha+4,698 cos\alpha\\ &M(\alpha)=2,248\cdot (4-x)-1,71\cdot (2-x)-4,698(y-2\sqrt3)=\\ &=8,992-8,992\cdot cos\alpha-3,42+6,84\cdot cos\alpha-18,792 sin\alpha+16,274=\\ &=21,848-2,152 cos\alpha-18,792 sin\alpha\\ \end{aligned} Sprawdzamy wartości sił wewnętrznych dla kąta alfa co 15 stopni. Wyniki wygodnie zestawić w tabeli.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha\left[^{\circ}\right] & \sin \alpha & \cos \alpha & \mathrm{N}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{T}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{M}(\alpha)[\mathrm{kNm}] \\ \hline 60 & 0.866 & 0.500 & -4.338 & 1.883 & 4.496 \\ \hline 75 & 0.966 & 0.259 & -4.677 & 0.696 & 3.139 \\ \hline 90 & 1.000 & 0.000 & -4.698 & -0.538 & 3.056 \\ \hline \end{array}
Funkcje sił wewnętrznych w trzecim przedziale.
\begin{aligned} &N(\alpha)=-11,462\cdot cos\alpha -4,698\cdot sin\alpha+3\cdot (4-x) cos\alpha=\\ &=-11.462\cdot cos\alpha-4,698\cdot sin\alpha+12\cdot cos\alpha-12cos^2 \alpha=\\ &=0,538\cdot cos\alpha-4,698\cdot sin\alpha-12\cdot cos^2 \alpha\\ \\ &T(\alpha)=11,462\cdot sin\alpha-4,698\cdot cos\alpha-3\cdot (4-x)\cdot sin\alpha=\\ &=11,462\cdot sin\alpha-4,698\cdot cos\alpha-12\cdot sin\alpha+12\cdot sin\alpha cos\alpha=\\ &=-0,538\cdot sin\alpha-4,698\cdot cos\alpha+12\cdot sin\alpha cos\alpha\\ &M(\alpha)=11,462\cdot (4-x)-4,698y-3\cdot(4-x\cdot \frac{1}{2}(4-x)=\\ &=45,848-45,848\cdot cos\alpha-18,792\cdot sin\alpha-1,5(16-8x+x^2)=\\ &=45,848-45,848\cdot cos\alpha-18,792\cdot sin\alpha-24+48\cdot cos\alpha-24cos^2 \alpha=\\ &21,848+2,152\cdot cos\alpha-18,792\cdot sin\alpha-24\cdot cos^2 \alpha\\ \end{aligned} Sprawdzamy wartości sił wewnętrznych dla kąta alfa co 15 stopni. Wyniki wygodnie zestawić w tabeli.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha\left[^{\circ}\right] & \sin \alpha & \cos \alpha & \mathrm{N}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{T}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{M}(\alpha)[\mathrm{kNm}] \\ \hline 0 & 0.000 & 1.000 & -11.462 & -4.698 & 0.000 \\ \hline 15 & 0.259 & 0.966 & -11.892 & -1.677 & -3.329 \\ \hline 30 & 0.500 & 0.866 & -10.883 & 0.859 & -3.684 \\ \hline 45 & 0.707 & 0.707 & -8.942 & 2.298 & -1.918 \\ \hline 60 & 0.866 & 0.500 & -6.800 & 2.381 & 0.650 \\ \hline 75 & 0.966 & 0.259 & -5.203 & 1.264 & 2.646 \\ \hline 90 & 1.000 & 0.000 & -4.698 & -0.538 & 3.056 \\ \hline \end{array}
Obliczenie reakcji podporowych
Korzystamy z równań równowagi sił i momentów, aby wyznaczyć reakcje w podporach.
Równania równowagi statycznej \begin{aligned} &\sum{x}=0 & H_A-4,698=0 && H_A=4,698 \ kN\\ &\sum{M_A}=0 & 3\cdot 4\cdot 2+1,71\cdot 6-4,698\cdot 2\sqrt3-V_B\cdot 8=0 && V_B=2,248 \ kN\\ &\sum{y}=0 & V_A-3\cdot 4-1,71+2,248=0 && V_A=11,462 \ kN\\ \end{aligned}
Przedział I - \(\alpha \in (0;60)\)
Rozwiązujemy siły wewnętrzne w łuku w przedziale kątowym od 0 do 60 stopni.
Rzutowanie reakcji VB na składowe normalną i tnącą do przekroju myślowego łuku.
Uzależniamy zmienną x i y od kąta alfa.
\begin{aligned} &\frac{x}{4}=cos\alpha\\ &x=4cos\alpha\\ &\frac{y}{4}=sin\alpha\\ &y=4sin\alpha\\ \end{aligned} Funkcje sił wewnętrznych w pierwszym przedziale.
\begin{aligned} &N(\alpha)=-2,248 cos\alpha\\ &T(\alpha)=-2,248 sin\alpha\\ &M(\alpha)=2,248 (4-x)=8,992-8,992 cos\alpha\\ \end{aligned} Sprawdzamy wartości sił wewnętrznych dla kąta alfa co 15 stopni. Wyniki wygodnie zestawić w tabeli.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha\left[{ }^0\right] & \sin \alpha & \cos \alpha & \mathrm{N}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{T}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{M}(\alpha)[\mathrm{kNm}] \\ \hline 0 & 0.000 & 1.000 & 2.248 & 0.000 & 0.000 \\ \hline 15 & 0.259 & 0.966 & 2.171 & -0.582 & 0.306 \\ \hline 30 & 0.500 & 0.866 & 1.947 & -1.124 & 1.205 \\ \hline 45 & 0.707 & 0.707 & 1.590 & -1.590 & 2.634 \\ \hline 60 & 0.866 & 0.500 & 1.124 & -1.947 & 4.496 \\ \hline \end{array}
Przedział II - \(\alpha \in (60;90)\)
Rozwiązujemy siły wewnętrzne w łuku w przedziale kątowym od 60 do 90 stopni.
Funkcje sił wewnętrznych w drugim przedziale.
\begin{aligned} &N(\alpha)=-2,248 cos\alpha+1,71 cos\alpha-4,698 sin\alpha=-0,538 cos\alpha-4,698 sin\alpha\\ &T(\alpha)=-2,248\cdot sin\alpha+1,71\cdot sin\alpha+4,698 cos\alpha=-0,583 sin\alpha+4,698 cos\alpha\\ &M(\alpha)=2,248\cdot (4-x)-1,71\cdot (2-x)-4,698(y-2\sqrt3)=\\ &=8,992-8,992\cdot cos\alpha-3,42+6,84\cdot cos\alpha-18,792 sin\alpha+16,274=\\ &=21,848-2,152 cos\alpha-18,792 sin\alpha\\ \end{aligned} Sprawdzamy wartości sił wewnętrznych dla kąta alfa co 15 stopni. Wyniki wygodnie zestawić w tabeli.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha\left[^{\circ}\right] & \sin \alpha & \cos \alpha & \mathrm{N}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{T}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{M}(\alpha)[\mathrm{kNm}] \\ \hline 60 & 0.866 & 0.500 & -4.338 & 1.883 & 4.496 \\ \hline 75 & 0.966 & 0.259 & -4.677 & 0.696 & 3.139 \\ \hline 90 & 1.000 & 0.000 & -4.698 & -0.538 & 3.056 \\ \hline \end{array}
Przedział III - Zmiana układu współrzędnych \(\alpha \in (0;90)\)
Zmieniamy układ współrzędnych, rozważamy przekrój w widoku z lewej strony i przeliczamy siły wewnętrzne w pełnym zakresie kątowym.
Funkcje sił wewnętrznych w trzecim przedziale.
\begin{aligned} &N(\alpha)=-11,462\cdot cos\alpha -4,698\cdot sin\alpha+3\cdot (4-x) cos\alpha=\\ &=-11.462\cdot cos\alpha-4,698\cdot sin\alpha+12\cdot cos\alpha-12cos^2 \alpha=\\ &=0,538\cdot cos\alpha-4,698\cdot sin\alpha-12\cdot cos^2 \alpha\\ \\ &T(\alpha)=11,462\cdot sin\alpha-4,698\cdot cos\alpha-3\cdot (4-x)\cdot sin\alpha=\\ &=11,462\cdot sin\alpha-4,698\cdot cos\alpha-12\cdot sin\alpha+12\cdot sin\alpha cos\alpha=\\ &=-0,538\cdot sin\alpha-4,698\cdot cos\alpha+12\cdot sin\alpha cos\alpha\\ &M(\alpha)=11,462\cdot (4-x)-4,698y-3\cdot(4-x\cdot \frac{1}{2}(4-x)=\\ &=45,848-45,848\cdot cos\alpha-18,792\cdot sin\alpha-1,5(16-8x+x^2)=\\ &=45,848-45,848\cdot cos\alpha-18,792\cdot sin\alpha-24+48\cdot cos\alpha-24cos^2 \alpha=\\ &21,848+2,152\cdot cos\alpha-18,792\cdot sin\alpha-24\cdot cos^2 \alpha\\ \end{aligned} Sprawdzamy wartości sił wewnętrznych dla kąta alfa co 15 stopni. Wyniki wygodnie zestawić w tabeli.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha\left[^{\circ}\right] & \sin \alpha & \cos \alpha & \mathrm{N}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{T}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{M}(\alpha)[\mathrm{kNm}] \\ \hline 0 & 0.000 & 1.000 & -11.462 & -4.698 & 0.000 \\ \hline 15 & 0.259 & 0.966 & -11.892 & -1.677 & -3.329 \\ \hline 30 & 0.500 & 0.866 & -10.883 & 0.859 & -3.684 \\ \hline 45 & 0.707 & 0.707 & -8.942 & 2.298 & -1.918 \\ \hline 60 & 0.866 & 0.500 & -6.800 & 2.381 & 0.650 \\ \hline 75 & 0.966 & 0.259 & -5.203 & 1.264 & 2.646 \\ \hline 90 & 1.000 & 0.000 & -4.698 & -0.538 & 3.056 \\ \hline \end{array}
Wykresy sił wewnętrznych na łuku
Jeżeli masz jakieś pytania, uwagi lub wydaje Ci się, że znalazłeś błąd w tym rozwiązaniu, napisz proszę do nas wiadomość na kontakt@edupanda.pl lub skontaktuj się z nami przez nasz profil na FB: