Opisujemy punkty charakterystyczne

Stopień statycznej niewyznaczalności rusztu przegubowego można policzyć osobno dla każdej belki i do tego dodać liczbę połączeń między belkami - ta suma to SSN całego rusztu.
\begin{array}{l} SSN=0^{AB}+0^{CD}+(-1)^{EF}+(-1)^{GH}+4^{B,F,H,J}=2 \\ \end{array} Przyjmujemy układ podstawowy metody sił UPMS
Schemat pracy: belka AB oraz CD są stabilne. Belce EF oraz GH brakuje po jednym podparciu. Zarówno jedna jak i druga belka mają do wyboru dwa punkty styku z belkami stabilnymi, na których się mogą podeprzeć. Wybieramy dla obu belek punkt w którym podeprzemy dodatkowo belkę, a drugie połączenie rozetniemy i w miejsce sił znajdujących się pomiędzy belkami przyjmiemy siły hiperstatyczne x1 oraz x2.

Rozetniemy połączenie w punkcie F oraz H, zostawimy podparcie w punktach J, B.

UPMS rysuję już obracając wszystkie belki osobno do płaszczyzny kartki.

UPMS

Rysujemy teraz stany jednostkowe i stan P

Musimy pamiętać, że w każdym stanie obliczamy reakcję \( V_B \) z belki GH i przekazujemy ją na belkę AB z przeciwnym zwrotem
oraz reakcję \( V_J \) z belki EF i przekazujemy je w postaci obciążenia z przeciwnym zwrotem na belkę AB.

stan \( x_1=\overline{1} \)

stan \( x_2=\overline{1} \)

stan P

Równanie kanoniczne metody sił

\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l} \delta_{11} \cdot x_1+\delta_{12} \cdot x_2+\delta_{1 p}=0 \\ \delta_{21} \cdot x_1+\delta_{22} \cdot x_2+\delta_{2 p}=0 \end{array}\right. \\ \end{aligned}

Współczynniki i wyrazy wolne równania kanonicznego

\begin{aligned} & \delta_{11}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 20 \cdot 20 \cdot 10+\frac{1}{3} \cdot 7.5 \cdot 7.5 \cdot 10+\frac{1}{3} \cdot 7.5 \cdot 7.5 \cdot 30+\frac{1}{3} \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10+\frac{1}{3} \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\right)= \frac{2750}{\mathrm{EI}} \\ & \delta_{22}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 30 \cdot 30+\frac{1}{3} \cdot 7.5 \cdot 7.5 \cdot 30+\frac{1}{3} \cdot 7.5 \cdot 7.5 \cdot 10+10 \cdot 10 \cdot 10+\frac{1}{3} \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\right)= \frac{11083,333}{\mathrm{EI}} \\ & \delta_{12}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\begin{array}{l} \frac{1}{3} \cdot 20 \cdot 30 \cdot 10+\frac{1}{6} \cdot 20 \cdot 10 \cdot 20+\frac{1}{3} \cdot 7.5 \cdot 10 \cdot 2.5 + \\ +\frac{1}{3} \cdot 7.5 \cdot 20 \cdot 2.5+\frac{1}{6} \cdot 7.5 \cdot 20 \cdot 7.5+\frac{1}{6} \cdot 2.5 \cdot 20 \cdot 2.5+\frac{1}{3} \cdot 2.5 \cdot 20 \cdot 7.5 + \\ +\frac{1}{3} \cdot 2.5 \cdot 10 \cdot 7.5 \end{array}\right) \\ & \delta_{12}= \frac{3250}{\mathrm{EI}} \quad \delta_{21}=\delta_{12} \\ & \delta_{1 \mathrm{p}}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\begin{array}{l} \frac{-1}{3} \cdot 7200 \cdot 10 \cdot 20-\frac{1}{6} \cdot 3200 \cdot 10 \cdot 20+\frac{1}{3} \cdot 200 \cdot 10 \cdot 20 + \\ +\frac{1}{3} \cdot 7.5 \cdot 10 \cdot 25 + \\ +\frac{1}{3} \cdot 7.5 \cdot 20 \cdot 25+\frac{1}{6} \cdot 7.5 \cdot 20 \cdot 75+\frac{1}{6} \cdot 2.5 \cdot 20 \cdot 25+\frac{1}{3} \cdot 2.5 \cdot 20 \cdot 75 + \\ +\frac{1}{3} \cdot 2.5 \cdot 10 \cdot 75 \end{array}\right)= \frac{-567500}{\mathrm{EI}} \\ & \delta_{2 p}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\begin{array}{l} \frac{-1}{3} \cdot 7200 \cdot 30 \cdot 30+\frac{1}{3} \cdot 1800 \cdot 30 \cdot 30 + \\ +\frac{1}{3} \cdot 7.5 \cdot 30 \cdot 75+\frac{1}{3} \cdot 7.5 \cdot 10 \cdot 75 \end{array}\right)= \frac{-1612500}{\mathrm{EI}} \\ & \end{aligned}

Rozwiązanie równania kanonicznego

\begin{array}{l} \mathrm{x}_1=52,68 \mathrm{kN} \\ \mathrm{x}_2=130,04 \mathrm{kN} \end{array}

Rozpisanie ostatecznych momentów ze wzorów superpozycyjnych

Belka AB \begin{aligned} & \mathrm{M}_{\mathrm{A}}=20 \cdot \mathrm{x}_1+30 \cdot \mathrm{x}_2-7200=-2245,19 \\ & \mathrm{M}_{\mathrm{J}}=20 \cdot \mathrm{x}_2-3200=-599,16 \end{aligned} Belka CD \begin{aligned} & \mathrm{M}_{\mathrm{F}}=7.5 \cdot \mathrm{x}_1+2.5 \cdot \mathrm{x}_2+25=745,19 \\ & \mathrm{M}_{\mathrm{H}}=2.5 \cdot \mathrm{x}_1+7.5 \cdot \mathrm{x}_2+75=1182 \end{aligned} Belka EF
\( \mathrm{M}_{\mathrm{J}}=10 \cdot \mathrm{x}_1=526,78 \)
Belka GH \begin{aligned} & \mathrm{M}_{\mathrm{G}}=10 \cdot \mathrm{x}_2=1300,4 \\ & \mathrm{M}_{\mathrm{B}}=10 \cdot \mathrm{x}_2=1300,4 \end{aligned}

Ostateczny wykres momentów

Siły tnące

Przechodzimy do rysowania wykresu sił tnących.
Przypomnijmy sobie teraz jak wyglądał UPMS - narysujemy to samo, tylko znamy już reakcje hiperstatyczne x1 oraz x2, więc wpisujemy wartości tych reakcji.

Liczymy na nowo reakcje, są to już reakcje ostateczne, znając reakcje bez problemu rysujemy wykresy sił tnących dla belek prostych, a później możemy to narysować w widoku 3D.

Przedział B-J
Zapiszemy funkcję siły tnącej, sprawdzimy czy się zeruje w tym przedziale, jeśli tak to obliczymy ekstremum na wykresie momentów.
\begin{aligned} & Q(x)=-130,04+16 \cdot x \\ & Q(x)=0 \\ & 130,04=16 x \\ & x_{ex}=8,13 \mathrm{~m} \\ & M(x)=130,04 \cdot x- 16 \cdot \frac{x^2}{2} \\ & M({x_{ex}})=528,45 \ \mathrm{kNm} \\ \end{aligned}
Przedział A-J
\begin{aligned} & Q(x)=244,6-16 \cdot x \\ & Q(x)=0 \\ & 244,6=16 x \\ & x_{ex}=15,29 \mathrm{~m} \notin <0;10m> \\ \end{aligned} Brak ekstremum na przedziale AJ.

Ostateczny wykres sił tnących

Sprawdzenie równowagi węzłów

Sprawdzenie kinematyczne

\( \delta_i=\int \frac{Most \cdot \overline{M_i}}{EI} d S=0 \)
\begin{aligned} &\delta_1=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\begin{array}{l} \frac{-1}{3} \cdot 2245.2 \cdot 10 \cdot 20-\frac{1}{6} \cdot 599.2 \cdot 10 \cdot 20+\frac{1}{3} \cdot 200 \cdot 10 \cdot 20+ \\ +\frac{1}{3} \cdot 7.5 \cdot 10 \cdot 745.2+ \\ +\frac{1}{3} \cdot 745.2 \cdot 20 \cdot 7.5+\frac{1}{6} \cdot 745.2 \cdot 20 \cdot 2.5+\frac{1}{6} \cdot 1182 \cdot 20 \cdot 7.5+\frac{1}{3} \cdot 1182 \cdot 20 \cdot 2.5+ \\ +\frac{1}{3} \cdot 2.5 \cdot 10 \cdot 1182+ \\ +\frac{1}{3} 10 \cdot 10 \cdot 526.8+\frac{1}{3} \cdot 10 \cdot 10 \cdot 526.8 \end{array}\right)\\ &\delta_1=0 \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned}
\begin{aligned} & \delta_2=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\begin{array}{l} \frac{-1}{3} \cdot 2245.2 \cdot 10 \cdot 30-\frac{1}{6} \cdot 599.2 \cdot 10 \cdot 30+\frac{1}{3} \cdot 200 \cdot 10 \cdot 30+ \\ +\frac{-1}{6} \cdot 2245.2 \cdot 10 \cdot 20-\frac{1}{3} \cdot 599.2 \cdot 10 \cdot 20+\frac{1}{3} \cdot 200 \cdot 10 \cdot 20 + \\ +\frac{-1}{3} \cdot 599.2 \cdot 20 \cdot 20+\frac{1}{3} \cdot 800 \cdot 20 \cdot 20+ \\ +\frac{1}{3} \cdot 2.5 \cdot 10 \cdot 745.2+ \\ +\frac{1}{3} \cdot 745.2 \cdot 20 \cdot 2.5+\frac{1}{6} \cdot 745.2 \cdot 20 \cdot 7.5+\frac{1}{6} \cdot 1182 \cdot 20 \cdot 2.5+\frac{1}{3} \cdot 1182 \cdot 20 \cdot 7.5 +\\ +\frac{1}{3} \cdot 7.5 \cdot 10 \cdot 1182+ \\ +10\cdot 10\cdot 1300.4 + \frac{1}{3}\cdot 10\cdot 10\cdot 1300.4 \end{array}\right) \\ & \delta_2=-13.33 \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ \end{aligned}
Nasuwa się zasadne pytanie czy wynik sprawdzenia \( \frac{-13,33}{EI} \) to jest wynik który możemy uznać za bliski zera (intuicyjnie na pewno nie). Jeśli mamy wątpliwość to należy podzielić ten wynik przez \( \delta_{2p} \), przyjmuje się że wynik tego iloczynu w procentach powinien być mniejszy niż 1,5
\( \left|\frac{\delta_2}{\delta_{2 p}}\right|=0.001 \%<1,5 \% \)

Ruszty

Mechanika budowli - Ruszty - Przykład 4

Przykład 4