Rozwiązać poniższy problem brzegowy metodą elementów skończonych (MES), dyskretyzując dziedzinę jednym elementem skończonym z kwadratowymi hierarchicznymi funkcjami kształtu. \[ \begin{cases} y''(x) = 3x + 1, & x \in \left[-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right] \\ y\left(-\frac{1}{3}\right) = 2 \\ y\left(\frac{2}{3}\right) = 0 \end{cases} \] Zapisać rozwiązanie MES \( y_{hp} \)

Rozwiązać poniższy problem brzegowy metodą elementów skończonych (MES), dyskretyzując dziedzinę jednym elementem skończonym z kwadratowymi hierarchicznymi funkcjami kształtu. \[ \begin{cases} y^{\prime \prime}(x)+x+1=0, \quad x \in[1,2] \\ y(1)=-2 \\ y(2)=3 \end{cases} \] Zapisać rozwiązanie MES \( y_{hp} \)

Rozwiązać poniższy problem brzegowy MES dyskretyzując dziedzinę jednym elementem skończonym z kwadratowymi hierarchicznymi funkcjami kształtu. \begin{aligned} y''(x) &= 3x - 1, \quad x \in \left[-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right] \\ y\left(-\frac{1}{2}\right) &= 0 \\ y\left(\frac{1}{2}\right) &= 2 \end{aligned} Zapisać rozwiązanie MES \( y_h^{FE} \).

Problem brzegowy: \[ \begin{aligned} y''(x) - 2y + 2x(x-3) = 0, \quad & x \in [-1, 2] \\ y(-1) = 5, \quad & y(2) = -1 \end{aligned} \] Rozwiązano MES dyskretyzując dziedzinę jednym elementem skończonym z kwadratowymi hierarchicznymi funkcjami kształtu. Rozwiązując układ równań MES z uwzględnionymi warunkami brzegowymi wyliczono jedyną niewiadomą składową wektora stopni swobody która wynosi 1. Zapisać globalny wektor stopni swobody oraz rozwiązanie MES \(y_{h,p}\). Wyznaczyć estymator błędu przyjmując, że rozwiązanie ściśle wynosi \(y_{por} = x^2 - 3x + 1\).

Problem brzegowy: \[ \begin{aligned} y''(x) + 2y - 2x(x + 3) = 0, \quad & x \in [-2, 1] \\ y'(-2) = -3, \quad & y(1) = 3 \end{aligned} \] Rozwiązano MES dyskretyzując dziedzinę jednym elementem skończonym z kwadratowymi hierarchicznymi funkcjami kształtu. Rozwiązując układ równań MES z uwzględnionymi warunkami brzegowymi wyliczono jedyną niewiadomą składową wektora stopni swobody która wynosi 1. Zapisać globalny wektor stopni swobody oraz rozwiązanie MES \(y_{h,p}\). Wyznaczyć estymator błędu przyjmując, że rozwiązanie ściśle wynosi \(y_{por} = x^2 + 3x - 1\).

Problem brzegowy \begin{aligned} &y''(x) - 2y + 2x(x - 3) = 0, \quad x \in [-1, 2] \\ &y(-1) = 5 \\ &y(2) = -1 \end{aligned} Wyznaczyć rozwiązanie MES dyskretyzując dziedzinę jednym elementem skończonym z liniowymi funkcjami kształtu. Zapisać rozwiązanie MES \( y_{h,p} \). Wyznaczyć estymator błędu przyjmując, że rozwiązanie ścisłe wynosi \( y_{por} = x^2 - 3x + 1 \).

Problem brzegowy: \begin{aligned} &y''(x) + 2y - 2x(x + 3) = 0, \quad x \in [-2, 1] \\ &y(-2) = -3 \\ &y(1) = 3 \end{aligned} Wyznaczyć rozwiązanie MES dyskretyzując dziedzinę jednym elementem skończonym z liniowymi funkcjami kształtu. Zapisać rozwiązanie MES \( y_{h,p} \). Wyznaczyć estymator błędu przyjmując, że rozwiązanie ścisłe wynosi \( y_{por} = x^2 + 3x - 1 \).

Problem brzegowy: \[ \begin{aligned} &y''(x) + 2y(x) - 6x^2 + 4x - 8 = 0, \quad x \in \left[ -\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right] \\ &y\left(-\frac{1}{3}\right) = 2 \\ &y\left(\frac{2}{3}\right) = 1 \end{aligned} \] Rozwiązano MES dyskretyzując dziedzinę jednym elementem skończonym z kwadratowymi hierarchicznymi funkcjami kształtu. W wyniku obliczeń otrzymano globalny wektor stopni swobody \[ \mathbf{d} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}^T \] Zapisz rozwiązanie MES \(y_{h,p}\). Wyznaczyć estymator i wskaźnik błędu przyjmując, że rozwiązanie ścisłe wynosi \(y_{por} = 3x^2 - 2x + 1\).

Problem brzegowy: \begin{aligned} y''(x) - 2y(x) + 6x^2 + 4x - 4 &= 0, \quad x \in \left[-\frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right] \\ y\left(-\frac{2}{3}\right) &= 1 \\ y\left(\frac{1}{3}\right) &= 2 \end{aligned} Rozwiązano MES dyskretyzując dziedzinę jednym elementem skończonym z kwadratowymi hierarchicznymi funkcjami kształtu. W wyniku obliczeń otrzymano globalny wektor stopni swobody: \begin{aligned} d = [1 \ 2 \ 3]^T \end{aligned} Zapisać rozwiązanie MES \(y_{h,p}\). Wyznaczyć estymator i wskaźnik błędu przyjmując, że rozwiązanie ścisłe wynosi: \begin{aligned} y_{\text{por}} = 3x^2 + 2x + 1 \end{aligned}

Rozwiązać poniższy problem brzegowy MES dyskretyzując dziedzinę jednym elementem skończonym z kwadratowymi hierarchicznymi funkcjami kształtu. \begin{aligned} y''(x) &= 3x - 1, \quad x \in \left[ -\frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right] \\ y\left( -\frac{2}{3} \right) &= 0 \\ y\left( \frac{1}{3} \right) &= 2 \end{aligned} Zapisz rozwiązanie MES \(y_h(x)\).

Rozwiązać poniższy problem brzegowy MES dyskretyzując dziedzinę dwoma elementem skończonym o równej długości z liniowymi funkcjami kształtu. \[ \begin{aligned} &y''(x) = x, \quad x \in [0,2] \\ &y(0) = -\frac{4}{3} \\ &y(2) = 1 \end{aligned} \] Naszkicować rozwiązanie MES \( y_{h,p} \).

Dla poniższego problemu brzegowego zbudować model globalny w sformułowaniu słabym \[ L(y^h, u) = l(w) \] \[ \begin{aligned} y''(x) + (x+1)y(x) &= x^2 + 2x - 1, \quad x \in [-1,0] \\ y(-1) &= 1 \\ y(0) &= 2 \end{aligned} \] Dla otrzymanego modelu obliczyć formę liniową \( l(u) \) przyjmując dyskretyzację dziedziny jednym elementem skończonym z liniowymi funkcjami kształtu.

Dla poniższego problemu brzegowego zbudować model globalny w sformułowaniu słabym: \[ \begin{aligned} y''(x) + 5y(x) &= -2x^2 + 3x + 4, \quad x \in [-2,1] \\ y(-2) &= 0.5 \\ y'(1) &= -3 \end{aligned} \]

Problem brzegowy: \[ \begin{cases} y''(x) = -4, \\ y'(-2) = 1{,}5, \\ y(2) = -1, \end{cases} \quad x \in [-2, 2] \] Rozwiązano MES dyskretyzując dziedzinę dwoma elementami skończonymi z kwadratowymi hierarchicznymi funkcjami kształtu. Zbudowano układ równań MES, uwzględniono warunki brzegowe, a następnie go rozwiązano. Rozwiązaniem tego układu równań są następujące wielkości: \[ d_1 = 25,\quad d_2 = 20,\quad \alpha_1 = -2,\quad \alpha_2 = -2,\quad y'(2) = 0 \] Zapi­sać rozwiązanie MES \( y_h \). Wyznaczyć estymator błędu dla obu elementów przyjmując, że rozwiązanie ścisłe wynosi \[ y_{\text{exact}} = 20 - \frac{13}{2}x - 2x^2. \] UWAGA: Wartości brakujących stopni swobody należy wywnioskować na podstawie warunków brzegowych.