Wektor prawej strony:

\begin{aligned} & p_2=\left(\frac{-1}{2} 6 \cdot 2\right) \cdot\left(\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{-1}{2} 12 \cdot 2\right) \cdot\left(\frac{1}{3}\right)=-8 \\ & p_6=\left(\frac{-1}{2} 6 \cdot 2\right) \cdot\left(\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{-1}{2} 12 \cdot 2\right) \cdot\left(\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{-1}{2} 12 \cdot 2\right) \cdot\left(\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{-1}{2} 18 \cdot 2\right) \cdot\left(\frac{1}{3}\right)=-24 \\ & p_{10}=\left(\frac{-1}{2} 12 \cdot 2\right) \cdot\left(\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{-1}{2} 18 \cdot 2\right) \cdot\left(\frac{2}{3}\right)=-16 \\ & p=\left[\begin{array}{c} 0 \\ p_2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ p_6 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ p_{10} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 0 \\ -8 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -24 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -16 \end{array}\right] \end{aligned}

Punkt A - obliczamy funkcje kształtu:

wezeł 1

\begin{aligned} &N_i(x, y)=A \cdot x+B \cdot y+C \\ &N_1(0,2)=A \cdot 0+B \cdot 2+C=1 \\ &N_1(1,0)=A \cdot 1+B \cdot 0+C=0 \\ &N_1(2,2)=A \cdot 2+B \cdot 2+C=0 \\ &A=-\frac{1}{2} \\ &B=\frac{1}{4} \\ &C=\frac{1}{2} \\ &N_1(x, y)=\frac{-1}{2} x+\frac{1}{4} y+\frac{1}{2} \end{aligned}

wezeł 2

\begin{aligned} &N_j(x, y)=A \cdot x+B \cdot y+C \\ &N_2(0,2)=A \cdot 0+B \cdot 2+C=0 \\ &N_2(1,0)=A \cdot 1+B \cdot 0+C=1 \\ &N_2(2,2)=A \cdot 2+B \cdot 2+C=0 \\ &A=0 \\ &B=\frac{-1}{2} \\ &C=1 \\ &N_2(x, y)=\frac{-1}{2} y+1 \end{aligned}

wezeł 3

\begin{aligned} &N_k(x, y)=A \cdot x+B \cdot y+C \\ &N_3(0,2)=A \cdot 0+B \cdot 2+C=0 \\ &N_3(1,0)=A \cdot 1+B \cdot 0+C=0 \\ &N_3(2,2)=A \cdot 2+B \cdot 2+C=1 \\ &A=\frac{1}{2} \\ &B=\frac{1}{4} \\ &C=\frac{-1}{2} \\ &N_3(x, y)=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4} y-\frac{1}{2} \end{aligned}

Obliczamy poszukiwane wielkości:

\begin{aligned} u &= \begin{bmatrix} N_1(1,1) & 0 & N_2(1,1) & 0 & N_3(1,1) & 0 \\ 0 & N_1(1,1) & 0 & N_2(1,1) & 0 & N_3(1,1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1.9 \\ -8.86 \\ 0 \\ 0 \\ 4.74 \\ -8.73 \end{bmatrix} \cdot 10^{-7} = \begin{bmatrix} 1.66 \\ -4.398 \end{bmatrix} \cdot 10^{-7} \\ B &= \begin{bmatrix} \frac{d}{dx} N_1(x,y) & 0 & \frac{d}{dx} N_2(x,y) & 0 & \frac{d}{dx} N_3(x,y) & 0 \\ 0 & \frac{d}{dy} N_1(x,y) & 0 & \frac{d}{dy} N_2(x,y) & 0 & \frac{d}{dy} N_3(x,y) \\ \frac{d}{dy} N_1(x,y) & \frac{d}{dx} N_1(x,y) & \frac{d}{dy} N_2(x,y) & \frac{d}{dx} N_2(x,y) & \frac{d}{dy} N_3(x,y) & \frac{d}{dx} N_3(x,y) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \\ e &= \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1.9 \\ -8.86 \\ 0 \\ 0 \\ 4.74 \\ -8.73 \end{bmatrix} \cdot 10^{-7} = \begin{bmatrix} 1.42 \\ -4.398 \\ 1.725 \end{bmatrix} \cdot 10^{-7} \\ \end{aligned} \begin{aligned} D &= \frac{E}{1 - \nu} \cdot \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - \nu}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 33.75 & 6.75 & 0 \\ 6.75 & 33.75 & 0 \\ 0 & 0 & 13.5 \end{bmatrix} \\ s &= \begin{bmatrix} 33.75 & 6.75 & 0 \\ 6.75 & 33.75 & 0 \\ 0 & 0 & 13.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1.42 \\ -4.938 \cdot 10^{-7} \cdot 10^6 \\ 1.725 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.459 \\ -15.707 \\ 2.329 \end{bmatrix} \, \text{kPa} \end{aligned}

Punkt B - obliczamy funkcje kształtu:

wezeł 3

\begin{aligned} &N_i(x, y)=A \cdot x+B \cdot y+C \\ &N_3(2, 2)=A \cdot 2+B \cdot 2+C=1 \\ &N_3(3, 0)=A \cdot 3+B \cdot 0+C=0 \\ &N_3(4, 2)=A \cdot 4+B \cdot 2+C=0 \\ &A=-\frac{1}{2} \\ &B=\frac{1}{4} \\ &C=\frac{3}{2} \\ &N_3(x, y)=\frac{-1}{2} x+\frac{1}{4} y+\frac{3}{2} \end{aligned}

wezeł 4

\begin{aligned} &N_j(x, y)=A \cdot x+B \cdot y+C \\ &N_4(2, 2)=A \cdot 2+B \cdot 2+C=0 \\ &N_4(3, 0)=A \cdot 3+B \cdot 0+C=1 \\ &N_4(4, 2)=A \cdot 4+B \cdot 2+C=0 \\ &A=-\frac{1}{2} \\ &B=-\frac{1}{2} \\ &C=1 \\ &N_4(x, y)=\frac{-1}{2} x + y + 1 \end{aligned}

wezeł 5

\begin{aligned} &N_k(x, y)=A \cdot x+B \cdot y+C \\ &N_5(2, 2)=A \cdot 2+B \cdot 2+C=0 \\ &N_5(3, 0)=A \cdot 3+B \cdot 0+C=0 \\ &N_5(4, 2)=A \cdot 4+B \cdot 2+C=1 \\ &A=\frac{1}{2} \\ &B=\frac{1}{4} \\ &C=-\frac{3}{2} \\ &N_5(x, y)=\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} y - \frac{3}{2} \end{aligned}

Obliczamy poszukiwane wielkości:

\begin{aligned} N &= \begin{bmatrix} N_3(3, 1) & 0 & N_4(3, 1) & 0 & N_5(3, 1) & 0 \\ 0 & N_3(3, 1) & 0 & N_4(3, 1) & 0 & N_5(3, 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.25 & 0 & 0.5 & 0 & 0.25 & 0 \\ 0 & 0.25 & 0 & 0.5 & 0 & 0.25 \end{bmatrix} \\ u &= \begin{bmatrix} 0.25 & 0 & 0.5 & 0 & 0.25 & 0 \\ 0 & 0.25 & 0 & 0.5 & 0 & 0.25 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4.74 \\ -8.73 \\ 0 \\ 0 \\ 10.4 \\ -24.5 \end{bmatrix} \cdot 10^{-7} = \begin{bmatrix} 3.785 \cdot 10^{-7} \\ -8.308 \cdot 10^{-7} \end{bmatrix} \end{aligned} \begin{aligned} \mathbf{B} &= \begin{bmatrix} \frac{d}{dx} N_3(x,y) & 0 & \frac{d}{dx} N_4(x,y) & 0 & \frac{d}{dx} N_5(x,y) & 0 \\ 0 & \frac{d}{dy} N_3(x,y) & 0 & \frac{d}{dy} N_4(x,y) & 0 & \frac{d}{dy} N_5(x,y) \\ \frac{d}{dy} N_3(x,y) & \frac{d}{dx} N_3(x,y) & \frac{d}{dy} N_4(x,y) & \frac{d}{dx} N_4(x,y) & \frac{d}{dy} N_5(x,y) & \frac{d}{dx} N_5(x,y) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \\ \mathbf{e} &= \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4.74 \\ -8.73 \\ 0 \\ 0 \\ 10.4 \\ -24.5 \end{bmatrix} \cdot 10^{-7} = \begin{bmatrix} 2.83 \\ -8.308 \\ -4.1 \end{bmatrix} \cdot 10^{-7} \\ \end{aligned} \begin{aligned} D &= \frac{E}{1 - \nu} \cdot \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - \nu}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 33.75 & 6.75 & 0 \\ 6.75 & 33.75 & 0 \\ 0 & 0 & 13.5 \end{bmatrix} \\ s &= \begin{bmatrix} 33.75 & 6.75 & 0 \\ 6.75 & 33.75 & 0 \\ 0 & 0 & 13.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2.83 \cdot 10^{-7} \\ -8.308 \cdot 10^{-7} \\ -4.1 \cdot 10^{-7} \end{bmatrix} \cdot 10^6 = \begin{bmatrix} -3.943 \\ -26.129 \\ -5.535 \end{bmatrix} \, \text{kPa} \end{aligned}

MES

Metody numeryczne - MES - Przykład 5

Przykład 5