Zobacz wstęp teoretyczny do metody równoważenia węzłów!
W tym również nakierowanie na więcej zadań i materiałów z tego tematu!
Zobacz TWIERDZENIA O PRĘTACH ZEROWYCH - definicja z przykładami!

Podpisujemy węzły, numerujemy pręty i przechodzimy do obliczeń

Zauważamy, że pręty numer 6, 10, 12, 21 są zerowe (z twierdzeń o prętach zerowych)
Widać również, że \( N_{19}=N_{18} \), \( \ N_4=N_3 \ \), a także:
Pręt 1 jest ściskany bezpośrednio siłą 30 kN, więc \( N_1=-30 \ kN \) oraz \( N_{16} = 15 \ kN \)

Liczymy reakcje i przechodzimy do metody równoważenia węzłów

\[ \begin{aligned} &\sum{M_A}=0 \\ & 30 \cdot 2,5 + 40 \cdot 3,2 + 50 \cdot 6,4 + 15 \cdot 12,8 - V_B \cdot 9,6 = 0 \\ &V_B = 74,48 \text{ kN} \\ \\ &\sum{Y}=0 \\ & V_A - 40 - 50 + V_B - 15 = 0 \\ &V_A = 30,52 \text{ kN} \\ \\ &\sum{X}=0 \\ & 30 - H_A = 0 \\ &H_A = 30 \text{ kN} \\ \end{aligned} \]

Funkcje kąta alfa:

Uwaga! Istotne jest do ilu miejsc po przecinku zaokrąglimy funkcje kąta,
będzie to oczywiście wpływało na dokładność wyników, pokażę na tym przykładzie
w początkowej fazie obliczeń jakie różnice będą kiedy zaokrąglimy sinus i cosinus
do dwóch i do trzech miejsc po przecinku.
\begin{aligned} &\sin\alpha = \frac{2,5}{\sqrt{2,5^2 + 3,2^2}} \\ &\cos\alpha = \frac{3,2}{\sqrt{2,5^2 + 3,2^2}} \\ \\ &\text{Zaokrąglenie do dwóch miejsc po przecinku: } \\ &\sin\alpha = 0,62 \\ &\cos\alpha = 0,79 \\ \\ &\text{Zaokrąglenie do trzech miejsc po przecinku: } \\ &\sin\alpha = 0,616 \\ &\cos\alpha = 0,788 \\ \\ &\text{Przy równowadze węzła A po raz pierwszy użyjemy tych obliczeń} \end{aligned}

Równowaga węzła I

\begin{aligned} &\sum{Y}=0 \\ & N_7 \cdot \sin\alpha = 0 \\ & N_7 = 0 \text{ kN} \\ \\ &\sum{X}=0 \\ & N_7 \cdot \cos\alpha + N_{17} = 0 \\ & N_{17} = 0 \text{ kN} \\ \end{aligned}

Równowaga węzła D

\begin{aligned} &\sum{Y}=0 \\ & N_8 = 0 \text{ kN} \\ \\ &\sum{X}=0 \\ & -30 + N_2 = 0 \\ & N_2 = 30 \text{ kN} \\ \end{aligned}

Równowaga węzła A

\begin{aligned} &\sum{Y}=0 \\ & N_9 \cdot \sin\alpha + 30,52 = 0 \\ & \text{Uwaga! Jeśli wstawimy sinus zaokrąglony do dwóch miejsc po przecinku (0,62), otrzymamy wynik: } \\ & N_9 = -49,226 \text{ kN} \\ & \text{Natomiast jeśli wstawimy sinus do trzech miejsc (0,616), otrzymamy: } \\ & N_9 = -49,545 \text{ kN} \\ & \text{jest to różnica rzędu ponad 0,3 kN i przy sprawdzenie na końcu tyle nam może brakować do zera, } \\ &\text{przez co nie będziemy mieli pewności czy jest dobrze.} \\ \\ &\text{ Dodajmy, że wynik z programu obliczeniowego dla tego pręta to: } N_9=-49,575 \ kN \\ &\text{ W kolejnych obliczeniach będziemy podstawiać funkcje kąta do trzech miejsc po przecinku } \\ &\sum{X}=0 \\ & -30 + N_9 \cdot \cos\alpha + N_{18} = 0 \\ & N_{18} = 30 + 49,545 \cdot 0,79 = 69,042 \text{ kN} \\ \end{aligned}

Równowaga węzła E

\begin{aligned} &\sum{Y}=0 \\ & -40 + 30,52 - 0,616 \cdot N_{11} = 0 \\ & N_{11} = -15,39 \text{ kN} \\ &\sum{X}=0 \\ & 39,04 + 0,788 \cdot N_{11} + 30 + N_3 = 0 \\ & N_3 = -56,913 \text{ kN} \\ \end{aligned}

Równowaga węzła K

\begin{aligned} &\sum{Y}=0 \\ & -9,48 + N_{13} \cdot 0,62 - 50 = 0 \\ & N_{13} = 96,56 \text{ kN} \\ \\ &\sum{X}=0 \\ & -69,04 + 12,127 + 96,56 \cdot 0,788 + N_{20} = 0 \\ & N_{20} = -19,176 \text{ kN} \\ \end{aligned}

Równowaga węzła G

\begin{aligned} &\sum{Y}=0 \\ & -59,48 - N_{14} = 0 \\ & N_{14} = -59,48 \text{ kN} \\ \\ &\sum{X}=0 \\ & 56,913 - 76,09 + N_5 = 0 \\ & N_5 = 19,177 \text{ kN} \\ \end{aligned}

Równowaga węzła H

\begin{aligned} &\sum{X}=0 \\ & -19,177 - 0,788 \cdot N_{15} = 0 \\ & N_{15} = -24,336 \text{ kN} \\ \\ &\text{Z reguły w ostatnim węźle mamy sprawdzenie, to znaczy} \\ &\text{jedno równanie daje ostatnią niewiadomą, a drugie równanie będzie sprawdzeniem, zatem: } \\ &\text{ Sprawdzenie : } \ \sum{Y}=0 \\ & -0,616\cdot N_{15}-15 = 0 \\ & -0,009 \approx 0 \\ & \text{Zaokrąglenie funkcji sinus i cosinus alfa do trzech miejsc daje zdecydowanie lepszą dokładność wyników.} \\ \end{aligned}

Wykres sił normalnych [kN]

Zobacz rozwiązanie tej kratownicy metodą Rittera!

Siły wewnętrzne - kratownice

Wytrzymałość materiałów - Siły wewnętrzne - kratownice - Przykład 5

Przykład 5