Zobacz wstęp teoretyczny do metody równoważenia węzłów!
W tym również nakierowanie na więcej zadań i materiałów z tego tematu!
Zobacz TWIERDZENIA O PRĘTACH ZEROWYCH - definicja z przykładami!

Podpisujemy węzły, numerujemy pręty i przechodzimy do obliczeń

Zauważamy, że pręty numer 10, 11, 15, 20 są zerowe
Kąt nachylenia prętów skośnych: \( \alpha=45^{\circ} \quad \sin \alpha=0.707 \quad \cos \alpha=0.707 \)

Liczymy reakcje i przechodzimy do metody równoważenia węzłów

Przecinamy kratownicę przez pręty 3 i 18 i liczymy reakcje osobno dla lewej i dla prawej strony (reakcję poziomą liczymy zanim przetniemy)

Reakcje

\[ \Sigma \mathrm{x}=0 \quad \mathrm{H}_{\mathrm{IX}}=0 \\ \]

prawa strona:

\begin{array}{ll} \Sigma \mathrm{M}_{\mathrm{XI}}=0 & 15 \cdot 3+45 \cdot 3-\mathrm{N}_3 \cdot 3=0 \quad \mathrm{~N}_3=\frac{15 \cdot 3+45 \cdot 3}{3}=60 \cdot \mathrm{kN} \\ \Sigma \mathrm{x}=0 & \mathrm{~N}_{18}=-\mathrm{N}_3=-60 \cdot \mathrm{kN} \\ \Sigma \mathrm{y}=0 & 15-45+\mathrm{V}_{\mathrm{XI}}=0 \quad \mathrm{~V}_{\mathrm{XI}}=30 \mathrm{kN} \\ \end{array}

lewa strona:

\begin{array}{lll} \Sigma \mathrm{M}_{\mathrm{IX}}=0 & \mathrm{~N}_3 \cdot 3-20 \cdot 3+\mathrm{V}_{\mathrm{VII}} \cdot 6=0 & \mathrm{~V}_{\mathrm{VII}}=\frac{\mathrm{N}_3 \cdot 3-20 \cdot 3}{-6}=-20 \cdot \mathrm{kN} \\ \Sigma \mathrm{y}=0 & \mathrm{~V}_{\mathrm{VII}}-20+\mathrm{V}_{\mathrm{IX}}=0 & \mathrm{~V}_{\mathrm{IX}}=20-\mathrm{V}_{\mathrm{VII}}=40 \cdot \mathrm{kN} \end{array}

Metoda równoważenia węzłów

Węzeł VII

\[ \begin{aligned} &\sum{Y} = 0 \\ &N_6 = -V_{VII} = 20 \text{ kN} \\ &\sum{X} = 0 \\ &N_{16} = 0 \text{ kN} \\ \end{aligned} \]

Węzeł I

\[ \begin{aligned} &\sum{Y} = 0 \\ &-N_6 - N_7 \cdot \sin\alpha = 0 \\ &N_7 = \frac{-N_6}{\sin\alpha} = -28.284 \text{ kN} \\ \\ &\sum{X} = 0 \\ &N_1 + N_7 \cdot \cos\alpha = 0 \\ &N_1 = -N_7 \cdot \cos\alpha = 20 \text{ kN} \\ \end{aligned} \]

Węzeł VIII

\[ \begin{aligned} &\sum{Y} = 0 \\ &N_8 + N_7 \cdot \sin\alpha - 20 = 0 \\ &N_8 = 20 - N_7 \cdot \sin\alpha = 40 \text{ kN} \\ \\ &\sum{X} = 0 \\ &-N_{16} - N_7 \cdot \cos\alpha + N_{17} = 0 \\ &N_{17} = N_{16} + N_7 \cdot \cos\alpha = -20 \text{ kN} \\ \end{aligned} \]

Węzeł II

\[ \begin{aligned} &\sum{Y} = 0 \\ &-N_8 - N_9 \cdot \sin\alpha = 0 \\ &N_9 = \frac{-N_8}{\sin\alpha} = -56.569 \text{ kN} \\ \\ &\sum{X} = 0 \\ &-N_1 + N_2 + N_9 \cdot \cos\alpha = 0 \\ &N_2 = N_1 - N_9 \cdot \cos\alpha = 60 \text{ kN} \\ \end{aligned} \]

Węzeł VI

\[ \begin{aligned} &\sum{Y} = 0 \\ &-N_{14} \cdot \sin\alpha - 45 = 0 \\ &N_{14} = \frac{-45}{\sin\alpha} = -63.64 \text{ kN} \\ \\ &\sum{X} = 0 \\ &-N_5 - N_{14} \cdot \cos\alpha = 0 \\ &N_5 = -N_{14} \cdot \cos\alpha = 45 \text{ kN} \\ \end{aligned} \]

Węzeł XI

\[ \begin{aligned} &\sum{Y} = 0 \\ &N_{14} \cdot \sin\alpha + N_{13} + V_{XI} = 0 \\ &N_{13} = -N_{14} \cdot \sin\alpha - V_{XI} = 15 \text{ kN} \\ \\ &\sum{X} = 0 \\ &-N_{19} + N_{14} \cdot \cos\alpha = 0 \\ &N_{19} = N_{14} \cdot \cos\alpha = -45 \text{ kN} \\ \end{aligned} \]

Węzeł V

\[ \begin{aligned} &\sum{Y} = 0 \\ &-N_{13} - N_{12} \cdot \sin\alpha = 0 \\ &N_{12} = \frac{-N_{13}}{\sin\alpha} = -21.213 \text{ kN} \\ \\ &\sum{X} = 0 \\ &-N_4 + N_5 - N_{12} \cdot \cos\alpha = 0 \\ &N_4 = N_5 - N_{12} \cdot \cos\alpha = 60 \text{ kN} \\ \end{aligned} \]

Węzeł X (sprawdzenie)

\[ \begin{aligned} &\sum{Y} = 0 \\ &N_{12} \cdot \sin\alpha + N_{11} + 15 = 0 \\ &0 = 0 \\ \\ &\sum{X} = 0 \\ &-N_{18} + N_{12} \cdot \cos\alpha + N_{19} = 0 \\ &0 = 0 \\ \end{aligned} \]

Zestawienie sił w prętach [Np]:

\[ \begin{aligned} &N_1 = 20 \text{ kN} && N_6 = 20 \text{ kN} && N_{11} = 0 \text{ kN} && N_{16} = 0 \text{ kN}\\ &N_2 = 60 \text{ kN} && N_7 = -28.284 \text{ kN} && N_{12} = -21.213 \text{ kN} && N_{17} = -20 \text{ kN}\\ &N_3 = 60 \text{ kN} && N_8 = 40 \text{ kN} && N_{13} = 15 \text{ kN} && N_{18} = -60 \text{ kN}\\ &N_4 = 60 \text{ kN} && N_9 = -56.569 \text{ kN} && N_{14} = -63.64 \text{ kN} && N_{19} = -45 \text{ kN}\\ &N_5 = 45 \text{ kN} && N_{10} = 0 \text{ kN} && N_{15} = 0 \text{ kN} && N_{20} = 0 \text{ kN}\\ \end{aligned} \]

Siły wewnętrzne - kratownice

Wytrzymałość materiałów - Siły wewnętrzne - kratownice - Przykład 6

Przykład 6