Zobacz wstęp teoretyczny do metody równoważenia węzłów!
W tym również nakierowanie na więcej zadań i materiałów z tego tematu!
Zobacz TWIERDZENIA O PRĘTACH ZEROWYCH - definicja z przykładami!

Podpisujemy węzły, numerujemy pręty i przechodzimy do obliczeń

Zauważamy, że pręty numer 1, 6, 5, 17 są zerowe
Kąt nachylenia prętów skośnych: \( \alpha=45^{\circ} \quad \sin \alpha=0.707 \quad \cos \alpha=0.707 \)

Liczymy reakcje i przechodzimy do metody równoważenia węzłów

Reakcje

\begin{aligned} & \Sigma \mathrm{x}=0 \quad \mathrm{H}_{\mathrm{XII}}=0 \\ & \Sigma \mathrm{M}_{\mathrm{IX}}^{\mathrm{L}}=0 \quad 12 \cdot 2+\mathrm{V}_{\mathrm{VII}} \cdot 4=0 \quad \mathrm{~V}_{\mathrm{VII}}=\frac{-24}{4}=-6 \mathrm{kN} \\ & \Sigma \mathrm{M}_{\mathrm{X}}=0 \quad-\mathrm{V}_{\mathrm{XII}} \cdot 4-24 \cdot 2+16 \cdot 2+12 \cdot 4+\mathrm{V}_{\mathrm{VII}} \cdot 6=0 \rightarrow-4 \cdot \mathrm{V}_{\mathrm{XII}}-4=0 \\ & \mathrm{~V}_{\mathrm{XII}}=-1 \mathrm{kN} \\ & \Sigma \mathrm{y}=0 \quad \mathrm{~V}_{\mathrm{VII}}+12-24+\mathrm{V}_{\mathrm{X}}-16+\mathrm{V}_{\mathrm{XII}}=0 \rightarrow \mathrm{V}_{\mathrm{X}}-35=0 \\ & \mathrm{~V}_{\mathrm{X}}=35 \mathrm{kN} \end{aligned}

Metoda równoważenia węzłów

Węzeł VII

\[ \begin{aligned} \Sigma_y &= N_7 \sin\alpha + V_{VII} = 0 \\ N_7 &= \frac{- V_{VII}}{\sin\alpha} = 8.485 \text{ kN} \\ \Sigma_x &= N_7 \cos\alpha + N_{18} = 0 \\ N_{18} &= -N_7 \cos\alpha = -6 \text{ kN} \end{aligned} \]

Węzeł II

\[ \begin{aligned} \Sigma_y &= - N_8 - N_7 \sin\alpha = 0 \\ N_8 &= - N_7 \sin\alpha = -6 \text{ kN} \\ \Sigma_x &= -N_1 + N_2 - N_7 \cos\alpha = 0 \\ N_2 &= N_1 + N_7 \cos\alpha = 6 \text{ kN} \end{aligned} \]

Węzeł VIII

\[ \begin{aligned} \Sigma_y &= N_8 + N_9 \sin\alpha + 12 = 0 \\ N_9 &= \frac{-12 - N_8}{\sin\alpha} = -8.485 \text{ kN} \\ \Sigma_x &= -N_{18} + N_9 \cos\alpha + N_{19} = 0 \\ N_{19} &= N_{18} - N_9 \cos\alpha = 0 \text{ kN} \end{aligned} \]

Węzeł III (L)

\[ \begin{aligned} \Sigma_x &= - N_2 - N_9 \cos\alpha = 0 \quad (\text{sprawdzenie}) \\ L=P \\ \Sigma_y &= - N_{10} - N_9 \sin\alpha = 0 \\ N_{10} &= - N_9 \sin\alpha = 6 \text{ kN} \end{aligned} \]

Węzeł XII

\[ \begin{aligned} \Sigma_y &= N_{17} + N_{16} \sin\alpha + V_{XII} = 0 \\ N_{16} &= \frac{- N_{17} - V_{XII}}{\sin\alpha} = 1.414 \text{ kN} \\ \Sigma_x &= - N_{22} - N_{16} \cos\alpha + H_{XII} = 0 \\ N_{22} &= - N_{16} \cos\alpha + H_{XII} = - 1 \text{ kN} \end{aligned} \]

Węzeł V

\[ \begin{aligned} \Sigma_y &= - 16 - N_{15} - N_{16} \sin\alpha = 0 \\ N_{15} &= - 16 - N_{16} \sin\alpha = -17 \text{ kN} \\ \Sigma_x &= - N_4 - N_5 + N_{16} \cos\alpha = 0 \\ N_4 &= N_5 - N_{16} \cos\alpha = 1 \text{ kN} \end{aligned} \]

Węzeł XI

\[ \begin{aligned} \Sigma_y &= N_{14} \sin\alpha + N_{15} = 0 \\ N_{14} &= \frac{-N_{15}}{\sin\alpha} = 24.042 \text{ kN} \\ \Sigma_x &= - N_{21} - N_{14} \cos\alpha + N_{22} = 0 \\ N_{21} &= - N_{14} \cos\alpha + N_{22} = -18 \text{ kN} \end{aligned} \]

Węzeł IV

\[ \begin{aligned} \Sigma_y &= - N_{13} - N_{14} \sin\alpha = 0 \\ N_{13} &= - N_{14} \sin\alpha = -17 \text{ kN} \\ \Sigma_x &= - N_3 + N_4 + N_{14} \cos\alpha = 0 \\ N_3 &= N_4 + N_{14} \cos\alpha = 18 \text{ kN} \end{aligned} \]

Węzeł X

\[ \begin{aligned} \Sigma_y &= N_{12} \sin\alpha + N_{13} + V_X = 0 \\ N_{12} &= \frac{-N_{13} - V_X}{\sin\alpha} = -25.456 \text{ kN} \\ \Sigma_x &= - N_{20} - N_{12} \cos\alpha + N_{21} = 0 \\ N_{20} &= - N_{12} \cos\alpha + N_{21} = 0 \text{ kN} \end{aligned} \]

Węzeł III (P)

\[ \begin{aligned} \Sigma_y &= - N_{11} - N_{12} \sin\alpha = 0 \\ N_{11} &= - N_{12} \sin\alpha = 18 \text{ kN} \\ \Sigma_x &= N_3 + N_{12} \cos\alpha = 0 \quad (\text{sprawdzenie}) \\ L=P \\ \end{aligned} \]

Siły wewnętrzne - kratownice

Wytrzymałość materiałów - Siły wewnętrzne - kratownice - Przykład 7

Przykład 7