Obliczenie współrzędnych x i y w funkcji kąta alfa

Na początku uzależniamy zmienne x i y od kąta alfa w celu przygotowania do dalszych obliczeń.

\begin{aligned} &x=6cos\alpha\\ &y=6sin\alpha\\ \end{aligned}

Obliczenie reakcji podporowych

Rozwiązujemy równania równowagi sił i momentów, aby wyznaczyć reakcje w podporach.

\begin{aligned} &\sum{x}=0\\ & \hspace{3cm} H_A-18\cdot 6=0\\ & \hspace{3cm} H_A=108 \ \mathrm{kN}\\ \\ &\sum{M_P^P}=0\\ & \hspace{3cm} 12\cdot 6\cdot 3+18\cdot 6\cdot 3-V_B\cdot 6=0\\ & \hspace{3cm} V_B=90 \ \mathrm{kN}\\ \\ &\sum{y}=0\\ &\hspace{3cm} V_A-30-12\cdot 6+V_B=0\\ &\hspace{3cm} V_A=12 \ \mathrm{kN}\\ \\ &\sum{M_A}=0\\ &\hspace{3cm} M_A+120+30\cdot 6+12\cdot 6\cdot 9-18\cdot 6\cdot 3-90\cdot 12=0\\ &\hspace{3cm} M_A=456 \ \mathrm{kNm}\\ \end{aligned}

Siły wewnętrzne
Przedział I \(\alpha \in(0; 90)\)

Obliczamy funkcje sił wewnętrznych dla kąta alfa w przedziale od 0 do 90 stopni.

\begin{aligned} &N(\alpha)=-V_B\cdot cos\alpha-18\cdot y\cdot sin\alpha+12\cdot (6-x)\cdot cos\alpha=\\ &=-90cos\alpha-108sin^2\alpha+72cos\alpha-72cos^2\alpha=\\ &=-18cos\alpha -108\cdot (1-cos^2\alpha)-72cos^2\alpha=\\ &=-18cos\alpha-108+36cos^2\alpha\\ \\ &T(\alpha)=-V_B\cdot sin\alpha+18y\cdot cos\alpha+12\cdot (6-x)\cdot sin\alpha=\\ &=-90sin\alpha+108sin\alpha cos\alpha+72sin\alpha-72sin\alpha cos\alpha=\\ &=-18sin\alpha+36sin\alpha cos\alpha\\ \\ &M(\alpha)=V_B\cdot (6-x)-18\cdot y\cdot \frac{1}{2}y-12\cdot (6-x)\cdot \frac{1}{2}(6-x)=540-540cos\alpha-324sin^2\alpha-6\cdot(6-x)^2=\\ &=540-540cos\alpha-324sin^2\alpha-6\cdot(36-12\cdot 6cos\alpha+36cos^2\alpha)=\\ &=540-540cos\alpha-324sin^2\alpha-216+432cos\alpha-216cos^2\alpha=324-108cos\alpha-324(1-cos^2\alpha)-216cos^2\alpha=\\ &=-108cos\alpha+108cos^2\alpha\\ \end{aligned} Zestawienie sił w tabeli.
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \alpha & \mathbf{N [kN]} & \mathbf{T [kN]} & \mathbf{M [kNm]} \\ \hline 0^{\circ} & -90 & 0 & 0 \\ \hline 15^{\circ} & -91,8 & 4.34 & -3,55 \\ \hline 30^{\circ} & -96.59 & 6.59 & -12,53 \\ \hline 45^{\circ} & -102,73 & 5.27 & -22.37 \\ \hline 60^{\circ} & -108 & 0 & -27 \\ \hline 75^{\circ} & -110.25 & -8.39 & -20.72 \\ \hline 90^{\circ} & -108 & -18 & 0 \\ \hline \end{array}

Przedział II \(\alpha \in(0; 60)\)

Obliczamy funkcje sił wewnętrznych dla kąta alfa w przedziale od 0 do 60 stopni.

\begin{aligned} &N(\alpha)=-12\cdot cos\alpha-108sin\alpha\\ \\ &T(\alpha)=12sin\alpha-108cos\alpha\\ \\ &M(\alpha)=12\cdot (6-x)-108\cdot y+456=\\ &=72-72cos\alpha-648sin\alpha+456=\\ &=528-72cos\alpha-648sin\alpha\\ \end{aligned} Zestawienie sił w tabeli.
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \alpha & \mathbf{N [kN]} & \mathbf{T [kN]} & \mathbf{M [kNm]} \\ \hline 0^{\circ} & -12 & -108 & 456 \\ \hline 15^{\circ} & -39,54 & -101,2 & 290,73 \\ \hline 30^{\circ} & -64,39 & -87,53 & 141,64 \\ \hline 45^{\circ} & -84,85 & -67,88 & 18,88 \\ \hline 60^{\circ} & -99,53 & -43,60 & -69,18 \\ \hline \end{array}

Przedział III \(\alpha \in(60; 90)\)

Obliczamy funkcje sił wewnętrznych dla kąta alfa w przedziale od 60 do 90 stopni.

\begin{aligned} &N(\alpha)=-12cos\alpha-108sin\alpha\\ \\ &T(\alpha)=12sin\alpha-108cos\alpha\\ \\ &M(\alpha)=528-72cos\alpha-648sin\alpha+120=648-72cos\alpha-648sin\alpha\\ \end{aligned} Zestawienie sił w tabeli.
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \alpha & \mathbf{N [kN]} & \mathbf{T [kN]} & \mathbf{M [kNm]} \\ \hline 60^{\circ} & -85.53 & -43.6 & 50.82 \\ \hline 75^{\circ} & -107,4 & -16.36 & 3.45 \\ \hline 90^{\circ} & -108 & 12 & 0 \\ \hline \end{array}

Wykresy sił wewnętrznych

Siły wewnętrzne - łuki

Wytrzymałość materiałów - Siły wewnętrzne - łuki - Przykład 4

Przykład 4