Obliczenie reakcji podporowych

Rozwiązujemy równania równowagi sił i momentów, aby wyznaczyć reakcje w podporach.

\begin{aligned} &P_x=P\cdot cos\alpha=4,698\\ &P_y=P\cdot sin\alpha=1,71\\ &cos\varphi=\frac{1}{2}\\ &\varphi=60^o\\ \\ &\text{Reakcje:}\\ &\sum{M_A}=0\ \ \ 3\cdot 4\cdot 2-4,698\cdot 2\sqrt3+1,71\cdot 6-V_B\cdot 8=0\ \ \ V_B=2,248\ kN\\ &\sum{y}=0\ \ \ V_A-3\cdot 4+V_B-1,71=0\ \ \ V_A=11,462\ kN\\ &\sum{M_P^L}=0\ \ \ -M_A\cdot 4+V_A\cdot 4-3\cdot 4\cdot 2=0\ \ \ M_A=5,462\ kN\\ &\sum{x}=0\ \ \ M_A-4,698-M_B=0\ \ \ M_B=0,764\\ &\text{Sprawdzenie:}\\ &\sum{M_p}=0\ \ \ -M_A\cdot 4+V_A\cdot 4-3\cdot 4\cdot 2+1,71\cdot 2+4,698(4-2\sqrt3)+M_B\cdot 4-V_B\cdot 4=0\\ &L=P\\ \end{aligned}

Siły wewnętrzne
Przedział I \(\varphi \in(0; 60)\)

Funkcje sił wewnętrznych
\begin{aligned} &N(\varphi)=-0,764\cdot \sin\varphi-2,248\cdot cos\varphi\\ &Q(\varphi)=0,764\cdot cos\varphi-2,248\cdot \sin\varphi\\ &M(\varphi)=-0,764\cdot y+2,248\cdot (4-x)=\\ &=-0,764\cdot 4sin\varphi+2,248\cdot(4-4cos\varphi)=\\ &=-3,056\cdot sin\varphi+8,992-8,992 cos\varphi\\ \end{aligned} Zestawienie sił w tabeli.
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \varphi & \mathbf{N} & \mathbf{Q} & \mathbf{M} \\ \hline 0^{\circ} & -2,248 & 0,764 & 0 \\ \hline 15^{\circ} & -2,369 & 0,156 & -0,323 \\ \hline 30^{\circ} & -2,328 & -0,462 & -0,323 \\ \hline 45^{\circ} & -2,129 & -1,049 & 0,473 \\ \hline 60^{\circ} & -1,785 & -1,564 & 1,849 \\ \hline \end{array}

Przedział II \(\varphi \in(60; 90)\)

\begin{aligned} &N(\varphi)=-0,764 sin\varphi-2,248 cos\varphi-4,698 sin\varphi+1,71 cos\varphi=\\ &=-5,462 sin\varphi-0,538 cos\varphi\\ &Q(\varphi)=0,764 cos\varphi-2,248sin\varphi+4,698cos\varphi+1,71sin\varphi=\\ &=5,462 cos\varphi-0,538 sin\varphi\\ &M(\varphi)=-0,764\cdot y+2,248\cdot (4-x)-4,698\cdot (y-2\sqrt3)-1,71\cdot(2-x)=\\ &=-3,056 sin\varphi+8,992-8,992 cos\varphi-18,792 sin\varphi +16,274-3,42+6,84 cos\varphi=\\ &=-21,848sin\varphi+21,846-2,152 cos\varphi\\ \end{aligned} Zestawienie sił w tabeli.
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \varphi & \mathbf{N} & \mathbf{Q} & \mathbf{M} \\ \hline 60^{\circ} & -4,909 & 2,365 & 1,849 \\ \hline 75^{\circ} & -5,415 & 0,941 & 0,185 \\ \hline 90^{\circ} & -5,462 & -0,538 & 0 \\ \hline \end{array}

Przedział III \(\varphi \in(0; 90)\)

Przyjmuję układ współrzędnych w drugą stronę.

\begin{aligned} &N(\varphi)=-11,462\cdot cos\varphi-5,462\cdot sin\varphi+3\cdot(4-x)\cdot cos\varphi=\\ &=-11,462cos\varphi-5,462sin\varphi+12cos\varphi-12cos^2\varphi=\\ &=0,538cos\varphi-5,462sin\varphi-12cos^2\varphi\\ &Q(\varphi)=11,462sin\varphi-5,462cos\varphi-3\cdot(4-x)\cdot sin\varphi=\\ &=11,462sin\varphi-5,462cos\varphi-12sin\varphi+12cos\varphi \cdot sin\varphi=-0,538 sin\varphi-5,462cos\varphi+12cos\varphi sin\varphi\\ &M(\varphi)=11,462\cdot(4-x)-5,462\cdot y-3\cdot(4-x)\cdot \frac{1}{2}(4-x)=\\ &=45,848-45,848cos\varphi-21,848sin\varphi-1,5(16-8x+x^2)=\\ &=45,848-45,848cos\varphi-21,848sin\varphi-24+48cos\varphi-1,5(4cos\varphi)^2=\\ &=21,848+2,152 cos\varphi-24 cos^2\varphi-21,848sin\varphi\\ \end{aligned} Zestawienie sił w tabeli.
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \varphi & \mathbf{N} & \mathbf{Q} & \mathbf{M} \\ \hline 0^{\circ} & -11,462 & -5,462 & 0 \\ \hline 15^{\circ} & -12,09 & -2,415 & -4,12 \\ \hline 30^{\circ} & -11,205 & 0,197 & -5,272 \\ \hline 45^{\circ} & -9,481 & 1,757 & -4,079 \\ \hline 60^{\circ} & -7,461 & 1,999 & -1,996 \\ \hline 75^{\circ} & -5,94 & 1,067 & -0,306 \\ \hline 90^{\circ} & -5,462 & -0,538 & 0 \\ \hline \end{array}

Wykresy sił wewnętrznych

Siły wewnętrzne - łuki

Wytrzymałość materiałów - Siły wewnętrzne - łuki - Przykład 5

Przykład 5