Resistencia equivalente

A veces, antes de comenzar a calcular un problema relacionado con un circuito eléctrico, se puede simplificar reemplazando varios resistores (u otros elementos, por ejemplo, en el caso del análisis de circuitos de corriente alterna mediante el método simbólico) por uno que describa la resistencia (en el caso del análisis de circuitos de corriente alterna, la impedancia) equivalente.

Hay una serie de problemas en los que el cálculo de la resistencia equivalente es necesario por otras razones - compara, por ejemplo, Método de Thevenin o Método de Norton.

Conexión en serie

Si los elementos están conectados en serie:

1. La corriente que fluye a través de ellos tiene el mismo valor
2. La resistencia equivalente es la suma de las resistencias de los elementos individuales
\begin{aligned} &R_z=R_1+R_2+...\\ &R_z=\sum{R_i} \end{aligned}

Es muy importante notar que lo clave para determinar si los elementos están conectados en serie es establecer si la misma corriente fluye a través de ellos, esto será más evidente en los ejemplos

Conexión en paralelo

Si los elementos están conectados en paralelo:

1. La tensión en ellos tiene el mismo valor
2. La conductancia equivalente es la suma de las conductancias de los elementos individuales
\begin{aligned} &G_z=G_1+G_2+...\\ &G_z=\sum{G_i} \end{aligned}
3. La inversa de la resistencia equivalente es la suma de las inversas de las resistencias de los elementos individuales
\begin{aligned} &\frac{1}{R_z}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+...\\ &\frac{1}{R_z}=\sum{\frac{1}{R_i}}\\ \end{aligned}

Es muy importante notar que lo clave para determinar si los elementos están conectados en paralelo es establecer si tienen la misma tensión

Para mayor claridad - es muy raro que realmente sea beneficioso usar la fórmula con conductancia, pero ayuda a ver la relación que existe para tal conexión de elementos

En la práctica, también vale la pena recordar la fórmula para dos elementos conectados en paralelo:

\begin{aligned} &\frac{1}{R_z}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_2}{R_1\cdot R_1 }+\frac{R_1}{R_2\cdot R_1 }\\ &\frac{1}{R_z}=\frac{R_1+R_2}{R_1\cdot R_2}\\ &R_z=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}\\ \end{aligned}

Si alguna vez tienes dudas sobre qué está en el denominador y qué en el numerador, recuerda que al final debe salirte la unidad correcta - \(\Omega\), así que la multiplicación DEBE estar en el numerador porque:

\begin{aligned} &\frac{\Omega\cdot \Omega}{\Omega + \Omega}=\frac{\Omega^2}{\Omega}=\Omega\\ \end{aligned}

y no:

\begin{aligned} &\frac{\Omega+\Omega}{\Omega \cdot \Omega}=\frac{\Omega}{\Omega^2}=\frac{1}{\Omega}\\ \end{aligned}

Conexión mixta (serie-paralelo)

Personalmente, no me gusta mucho este término :-) En la práctica, una conexión mixta debe ser reducida a la superposición de conexiones en serie y en paralelo, así que no veo una razón particular para distinguir esto como un caso separado.

Sin embargo, en este punto me permitiré una pequeña digresión - cada resistencia equivalente se calcula respecto a dos puntos (terminales), no es un valor absoluto, sino solo una simplificación que usamos para facilitarnos la vida

Resistencia equivalente con las leyes de Kirchhoff

UN ENFOQUE MUY útil para pensar sobre la resistencia equivalente, especialmente en casos más complicados y no evidentes que a veces aparecen, por ejemplo, en problemas con Método de Thevenin es abordarlo desde el lado de las leyes de Kirchhoff.

Imaginemos por un momento que entre los terminales AB respecto a los cuales tenemos que calcular la resistencia equivalente hay una tensión \(U_{AB}\) que provoca el flujo de corriente \(I\)

Es obvio que \(R_z=\frac{U_{AB}}{I}\)

Datos:

\begin{aligned} R_1 & =30 \\ R_2 & =20 \\ R_3 & =10 \end{aligned}

Usando las fórmulas para conexiones en serie y en paralelo:

\begin{aligned} &R_{12}=\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}=12\\ &R_{z A B}=R_{12}+R_3=22 \end{aligned}

Usando las leyes de Kirchhoff:

\begin{aligned} & I=I_1+I_2 \\ & I_1 \cdot R_1=I_2 \cdot R_2 \\ & U_{A B}=I_2 \cdot R_2+I \cdot R_3 \\ & R_{z A B}=\frac{U_{A B}}{I} \end{aligned}

Calculamos:

\begin{aligned} & I_1=\frac{I_2 \cdot R_2}{R_1} \\ & I=\frac{I_2 \cdot R_2}{R_1}+I_2 \\ & I_2=\frac{R_1 \cdot I}{R_2+R_1} \\ & U_{A B}=\frac{R_1 \cdot I}{R_2+R_1} \cdot R_2+I \cdot R_3 \\ & R_{z A B}=\frac{\frac{R_1 \cdot I}{R_2+R_1} \cdot R_2+I \cdot R_3}{I}=\frac{R_1}{R_2+R_1} \cdot R_2+R_3=22 \end{aligned}

Y es claro que esto no es de hecho calcular la resistencia equivalente, pero en casos más complejos, este modo de pensar puede ser de gran ayuda, aunque los propios cálculos generalmente serán más complicados