Resistencia equivalente

A veces, antes de calcular un problema relacionado con un circuito eléctrico, se puede simplificar mediante la combinación de varios resistores (o de otros elementos, por ejemplo, en el caso del análisis de circuitos de corriente alterna mediante métodos simbólicos) en uno solo que describa la resistencia (en el caso del análisis de circuitos de corriente alterna, la impedancia) equivalente.

Hay muchos problemas en los que calcular la resistencia equivalente es necesario por otras razones, como por ejemplo en los métodos de Thevenin o Norton.

Conexión en serie

Si los elementos están conectados en serie:

1. La corriente que pasa a través de ellos tiene el mismo valor.
2. La resistencia equivalente es la suma de las resistencias individuales de los elementos.
\begin{aligned} &R_z=R_1+R_2+...\\ &R_z=\sum{R_i} \end{aligned}

Es importante notar que para determinar si los elementos están conectados en serie es necesario verificar si la misma corriente fluye a través de ellos, esto será más evidente en los ejemplos

Conexión en paralelo

Si los elementos están conectados en paralelo:

1. El voltaje en ellos tiene el mismo valor.
2. La conductancia equivalente es la suma de las conductancias individuales de los elementos.
\begin{aligned} &G_z=G_1+G_2+...\\ &G_z=\sum{G_i} \end{aligned}
3. La inversa de la resistencia equivalente es la suma de las inversas de las resistencias individuales de los elementos.
\begin{aligned} &\frac{1}{R_z}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+...\\ &\frac{1}{R_z}=\sum{\frac{1}{R_i}}\\ \end{aligned}

Es importante notar que para determinar si los elementos están conectados en paralelo es necesario verificar si tienen el mismo voltaje, esto será más evidente en los ejemplos

Para mayor claridad, es muy raro que sea realmente ventajoso usar la fórmula con conductancia, pero ayuda a visualizar la relación que existe para esta conexión de elementos

En la práctica, también es útil recordar la fórmula para dos elementos conectados en paralelo:

\begin{aligned} &\frac{1}{R_z}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_2}{R_1\cdot R_1 }+\frac{R_1}{R_2\cdot R_1 }\\ &\frac{1}{R_z}=\frac{R_1+R_2}{R_1\cdot R_2}\\ &R_z=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}\\ \end{aligned}

Si alguna vez tienes dudas sobre qué está en el denominador y qué está en el numerador, recuerda que al final debe salir la unidad correcta - \(\Omega\), por lo que la multiplicación DEBE estar en el numerador porque:

\begin{aligned} &\frac{\Omega\cdot \Omega}{\Omega + \Omega}=\frac{\Omega^2}{\Omega}=\Omega\\ \end{aligned}

y no:

\begin{aligned} &\frac{\Omega+\Omega}{\Omega \cdot \Omega}=\frac{\Omega}{\Omega^2}=\frac{1}{\Omega}\\ \end{aligned}

Conexión mixta (serie - paralelo)

Personalmente, no me gusta mucho esta terminología :-) En la práctica, una conexión mixta aún debe reducirse a la superposición de conexiones en serie y en paralelo, por lo que no veo una razón especial para destacar esto como un caso separado.

En este punto, sin embargo, me permitiré una pequeña digresión: cada resistencia equivalente se calcula con respecto a dos puntos (terminales), no es un valor absoluto, solo una simplificación que utilizamos para facilitarnos la vida

Resistencia equivalente con las leyes de Kirchhoff

Un enfoque MUY útil para pensar en la resistencia equivalente, especialmente en casos más complicados y no obvios que a veces surgen, por ejemplo, en problemas de las leyes de Thevenin, es el enfoque de las leyes de Kirchhoff.

Imaginemos por un momento que entre los terminales AB con respecto a los cuales debemos calcular la resistencia equivalente hay un voltaje \(U_{AB}\) que causa el flujo de corriente \(I\)

Es obvio que \(R_z=\frac{U_{AB}}{I}\)

Datos:

\begin{aligned} R_1 & =30 \\ R_2 & =20 \\ R_3 & =10 \end{aligned}

Usando las fórmulas para la conexión en serie y en paralelo:

\begin{aligned} &R_{12}=\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}=12\\ &R_{z A B}=R_{12}+R_3=22 \end{aligned}

Usando las leyes de Kirchhoff:

\begin{aligned} & I=I_1+I_2 \\ & I_1 \cdot R_1=I_2 \cdot R_2 \\ & U_{A B}=I_2 \cdot R_2+I \cdot R_3 \\ & R_{z A B}=\frac{U_{A B}}{I} \end{aligned}

Calculamos:

\begin{aligned} & I_1=\frac{I_2 \cdot R_2}{R_1} \\ & I=\frac{I_2 \cdot R_2}{R_1}+I_2 \\ & I_2=\frac{R_1 \cdot I}{R_2+R_1} \\ & U_{A B}=\frac{R_1 \cdot I}{R_2+R_1} \cdot R_2+I \cdot R_3 \\ & R_{z A B}=\frac{\frac{R_1 \cdot I}{R_2+R_1} \cdot R_2+I \cdot R_3}{I}=\frac{R_1}{R_2+R_1} \cdot R_2+R_3=22 \end{aligned}

Y está claro que esto no es exactamente el cálculo de la resistencia equivalente, pero en casos más complejos, este enfoque de pensamiento puede ser de gran ayuda aunque los cálculos en sí suelen ser más complicados

Ejemplo 1

Datos:

\begin{aligned} & R_1=10 \\ & R_2=20 \\ & R_3=10 \\ & R_4=10 \\ & R_5=20 \end{aligned}
\begin{aligned} &R_{12}=R_1+R_2=30\\ \end{aligned} \begin{aligned} & R_{45}=R_4+R_5=30 \\ \end{aligned} \begin{aligned} & R_{345}=\frac{R_3 \cdot R_{45}}{R_3+R_{45}}=7.5 \end{aligned} \begin{aligned} &R_z=R_{12}+R_{345}=37.5 \end{aligned}

Ejemplo 2

Datos:

\begin{aligned} & R_1=10 \\ & R_2=20 \\ & R_3=10 \\ & R_4=10 \\ & R_5=20 \end{aligned} \begin{aligned} & I=I_1+I_2 \\ & I_1+I_2=I_3+I_4 \\ & I_1 \cdot R_1-I_2 \cdot R_2=0 \\ & -I_3 \cdot R_3+I_4 \cdot R_4+I_4 \cdot R_5=0 \\ & -U_{A B}+I_3 \cdot R_3+I_1 \cdot R_1=0 \\ & R_{z A B}=\frac{U_{A B}}{I} \end{aligned} \begin{array}{ll} -U_{A B}+I_3 \cdot R_3+I_1 \cdot R_1=0 & U_{A B}=10 \cdot I_3+10 \cdot I_1 \\ -I_3 \cdot R_3+I_4 \cdot R_4+I_4 \cdot R_5=0 & I_4=\frac{I_3}{3} \\ I_1 \cdot R_1-I_2 \cdot R_2=0 & I_2=\frac{I_1}{2} \\ I=I_1+I_2 & I_1=I-I_2=\frac{2 \cdot I}{3} \\ I-\frac{I_1}{2}+\frac{I_1}{2}=I_3+\frac{I_3}{3} & I_3=\frac{3 \cdot I}{4} \end{array} \begin{aligned} &U_{A B}=10 \cdot \frac{3 \cdot I}{4}+10 \cdot \frac{2 \cdot I}{3}=\frac{85 \cdot I}{6}\\ &R_{z A B}=\frac{U_{A B}}{I}=\frac{85}{6}=14.167 \end{aligned}

Para comparar, usando las fórmulas de resistencia equivalente:

\begin{aligned} &R_{12}=\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}=6.667\\ & R_{45}=R_4+R_5=30 \\ & R_{345}=\frac{R_3 \cdot R_{45}}{R_3+R_{45}}=7.5 \\ & R_{z A B}=R_{12}+R_{345}=14.167 \end{aligned}