EduPanda - Symetria i antysymetria - Przyklad 1

Exemple 1

Dessiner les graphiques des forces internes M, Q, N.

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Solution

Étant donné que le cadre et la charge sont symétriques, je ne considère que le système demi-symétrique pour la symétrie.

Comme on peut le voir pour ce système SKN = 2

État $𝜑 1$

De l'équilibre du nœud B pour les moments

𝑟 11 - 3 𝐸 𝐼 𝑙 - 2 \sqrt 2 𝑙 𝐸 𝐼 = 0 𝑟 11 = 5, 828 𝐸 𝐼 𝑙

De l'équilibre du nœud C pour les forces

\sum 𝐹 𝑌 = 0 - 𝑁 1 \cdot 𝑠 𝑖 𝑛 𝛼 - 3 𝑙 2 \cdot 𝑐 𝑜 𝑠 𝛼 = 0 𝑁 1 = - 3 𝑙 2

\sum 𝐹 𝑋 = 0 - 3 𝑙 2 𝐸 𝐼 + 𝑟 21 - 3 𝑙 2 𝐸 𝐼 \cdot s i n 𝛼 + 𝑁 1 \cdot 𝑐 𝑜 𝑠 𝛼 = 0 𝑟 21 = 7, 243 𝐸 𝐼 𝑙 2

État $Δ 2$

Remarquez que sur le dessin : $𝑠 𝑖 𝑛 𝛼 = 𝑎 1$ , donc $𝑎 = 1 𝑠 𝑖 𝑛 𝛼 = \sqrt 2$

De l'équilibre du nœud B pour les moments :

𝑟 12 - 3 𝐸 𝐼 𝑙 2 - 4, 243 𝐸 𝐼 𝑙 2 = 0 𝑟 12 = 7, 243 𝐸 𝐼 𝑙 2

Résultat conforme à l'état $𝜑 1$

De l'équilibre des nœuds C et B pour les forces :

\sum 𝐹 𝑌 = 0 - 𝑁 1 \cdot 𝑠 𝑖 𝑛 𝛼 - 6 𝐸 𝐼 𝑙 3 = 0 𝑁 1 = - 6 𝐸 𝐼 𝑙 3

État P

De l'équilibre du nœud B pour les moments :

𝑟 1 𝑝 + 𝑞 𝑙 2 12 = 0 𝑟 1 𝑝 = - 𝑞 𝑙 2 12

De l'équilibre des nœuds B et C pour les forces

\sum 𝐹 𝑌 = 0 - 𝑁 1 \cdot 𝑠 𝑖 𝑛 𝛼 + 𝑞 𝑙 \sqrt 2 4 \cdot 𝑐 𝑜 𝑠 𝛼 = 0 𝑁 1 = \sqrt 2 4 𝑞 𝑙

Remarque - en raison de la charge continue non perpendiculaire à l'axe de la barre, nous avons:

𝑁 3 = 𝑁 1 - 𝑞 𝑙 \cdot 𝑠 𝑖 𝑛 𝛼 \sum 𝐹 𝑋 = 0 𝑟 2 𝑝 + 𝑁 3 \cdot 𝑐 𝑜 𝑠 𝛼 + 𝑞 𝑙 \sqrt 2 4 \cdot 𝑠 𝑖 𝑛 𝛼 = 0 𝑟 2 𝑝 = 12 𝑞 𝑙

Nous substituons dans l'équation canonique

𝑟 11 𝜑 1 + 𝑟 12 Δ 2 + 𝑟 1 𝑝 = 0 𝑟 21 𝜑 1 + 𝑟 22 Δ 2 + 𝑟 2 𝑝 = 0 5, 828 𝐸 𝐼 𝑙 𝜑 1 + 7, 243 𝐸 𝐼 𝑙 2 Δ 2 - 𝑞 𝑙 2 12 = 0 7, 243 𝐸 𝐼 𝑙 2 𝜑 1 + 11, 486 𝐸 𝐼 𝑙 3 Δ 2 + 12 𝑞 𝑙 = 0

Ainsi :

𝜑 1 = 0, 316 𝑞 𝑙 3 𝐸 𝐼 Δ 2 = - 0, 243 𝑞 𝑙 4 𝐸 𝐼

Par le principe de superposition

𝑀 𝑜 𝑠 𝑡 = 𝑀 1 𝜑 1 + 𝑀 2 Δ 2 + 𝑀 𝑝 𝑀 𝐴 𝐵 = 3 𝐸 𝐼 𝑙 2 \cdot Δ 2 + 3 𝐸 𝐼 𝑙 2 \cdot 𝜑 1 = 0, 22 𝑞 𝑙 2 𝑀 𝐶 𝐵 = 4, 243 \cdot 𝐸 𝐼 𝑙 2 \cdot Δ 2 + 2 \sqrt 2 \cdot 𝐸 𝐼 𝑙 \cdot 𝜑 1 - 112 𝑞 𝑙 2 = - 0, 22 𝑞 𝑙 2 𝑀 𝐶 = - 4, 243 \cdot 𝐸 𝐼 𝑙 2 \cdot Δ 2 - \sqrt 2 \cdot 𝐸 𝐼 𝑙 \cdot 𝜑 1 - 112 𝑞 𝑙 2 = 0, 5 𝑞 𝑙 2

On obtient le graphique $𝑀 𝑜 𝑠 𝑡$

De l'équilibre de l'élément BC

\sum 𝑀 𝐶 = 0 𝑇 𝐵 𝐶 \cdot 𝑙 \sqrt 2 - 0, 22 𝑞 𝑙 2 - 0, 5 𝑞 𝑙 2 - 𝑞 \cdot 𝑙 \cdot 𝑙 2 = 0 𝑇 𝐵 𝐶 = 0, 86 𝑞 𝑙 \sum 𝑀 𝐵 = 0 - 𝑇 𝐶 𝐵 \cdot 𝑙 \sqrt 2 - 0, 22 𝑞 𝑙 2 - 0, 5 𝑞 𝑙 2 + 𝑞 \cdot 𝑙 \cdot 𝑙 2 = 0 𝑇 𝐵 𝐶 = 0, 16 𝑞 𝑙

On obtient le graphique de $𝑄 𝑜 𝑠 𝑡$

De l'équilibre des nœuds B et C

\sum 𝐹 𝑦 = 0 - 𝑁 𝐶 𝐵 𝑠 𝑖 𝑛 𝛼 + 0, 16 𝑞 𝑙 \cdot 𝑐 𝑜 𝑠 𝛼 = 0 𝑁 𝐶 𝐵 = 0, 16 𝑞 𝑙

En raison de la charge continue

𝑁 𝐵 𝐶 = 𝑁 𝐶 𝐵 - 𝑞 𝑙 𝑠 𝑖 𝑛 𝛼 = - 0, 55 𝑞 𝑙 \sum 𝐹 𝑌 = 0 𝑁 𝐵 𝐴 - 0, 86 \cdot 𝑐 𝑜 𝑠 𝛼 + 𝑁 𝐵 𝐶 \cdot 𝑠 𝑖 𝑛 𝛼 = 0 𝑁 𝐵 𝐶 = 𝑞 𝑙

On obtient le graphique de $𝑁 𝑜 𝑠 𝑡$

Enfin, nous combinons les graphiques de l'état de symétrie, en gardant à l'esprit que pour la symétrie :

- les moments fléchissants sont réfléchis symétriquement (signes inchangés)

- les forces de cisaillement sont réfléchies de manière anti-symétrique (les signes sont inversés pour la réflexion)

- les forces normales sont réfléchies symétriquement (signes inchangés)

Si vous avez des questions, des remarques ou si vous pensez avoir trouvé une erreur dans cette solution, veuillez nous envoyer un message à kontakt@edupanda.pl.

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