Nous calculons le degré d'indéterminabilité statique SSN et sélectionnons le système de base de la méthode des forces UPMS. SSN=6-3-1=2 En termes de degré d'indéterminabilité statique, cet exemple est un peu spécifique, car nous avons deux réactions verticales le long de la tige AC. C'est donc une indétermination axiale, qui ne peut pas être résolue par la méthode des forces, mais qui sera résolue ultérieurement lors du calcul des forces normales à partir de la condition géométrique. Néanmoins, nous résoudrons ce système en tant que système à deux inconnues, mais comme nous le verrons plus tard, un état unitaire sortira nul, donc nous calculerons le système avec SSN=1.

UPMS

Nous traçons les diagrammes unitaires et le diagramme de charge externe.

État X1=1

État X2=1

État P

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Calcul des coefficients et des termes indépendants de l'équation canonique de la méthode des forces

Vous trouverez plus d'informations sur l'intégration dans notre Introduction théorique à ce sujet
\begin{aligned} & \delta_{11}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot(0) \\ & \delta_{22}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7} \cdot \frac{12}{7} \cdot 4+\frac{12}{7} \cdot \frac{12}{7} \cdot 8+\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7} \cdot \frac{12}{7} \cdot 3+\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\right)=\frac{1929}{49} \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ & \delta_{12}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot(0) \quad \delta_{21}=\delta_{12} \\ & \Delta_{1P}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot(0) \\ \end{aligned} \( \Delta_{2P}= \)
\begin{aligned} & \Delta_{2 P}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7} \cdot 4 \cdot 36+\frac{1}{6} \cdot \frac{12}{7} \cdot 4 \cdot 20-\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7} \cdot 4 \cdot 16+\frac{1}{2} \cdot \frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 36-\frac{1}{2} \cdot \frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 60-\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7} \cdot 3 \cdot 60\right) \\ & \Delta_{2 P}=-\frac{1392}{7} \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned}

Résolution des équations canoniques du système et calcul de X1 et X2.

\begin{aligned} &\delta_{11}\cdot{x_1}+\delta_{12}\cdot{x_2}+\delta_{1P}=0 \\ &\delta_{21}\cdot{x_1}+\delta_{22}\cdot{x_2}+\delta_{2P}=0 \\ \end{aligned} \begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l} 0 \cdot x_1+0 \cdot x_2+0=0 \\ 0 \cdot x_1+\frac{1929}{49 EI} \cdot x_2-\frac{1392}{7 EI}=0 \end{array}\right. \\ & \left\{\begin{array}{l} 0=0 \\ x_2=5,05 \mathrm{kN} \end{array}\right. \end{aligned}

Calcul du moment final à partir de la formule de superposition

\begin{aligned} &M_{OST}=M_P+M_1\cdot{X_1}+M_2\cdot{X_2}\\ \end{aligned} Nous additionnons les diagrammes

Diagramme de l'arc

Calculs pour le diagramme des forces tranchantes

\begin{aligned} & \Sigma M_A=0 \\ & -20+44,657+8 \cdot 4 \cdot 2+ \\ & +Q_B \cdot 4=0 \\ & Q_B=-22,164 \mathrm{kN} \\ & \Sigma x=0 \\ & Q_B+8 \cdot 4-Q_A=0 \\ & Q_A=9,836 \mathrm{kN} \end{aligned} Extremum sur le diagramme des moments \begin{aligned} \frac{9,836}{x} & =\frac{22,164}{4-x} \\ x & =1,23 \mathrm{~m} \end{aligned} \begin{aligned} \text { Mex }=-20+Q_A \cdot x-8 \cdot \frac{x^2}{2}=-13,953 \mathrm{kNm} \end{aligned}

\begin{aligned} & \Sigma M_B=0 \\ & Q_C \cdot 3+15,15=0 \\ & Q_C=-5,05 \mathrm{kN} \\ & \Sigma X=0 \\ & Q_B=Q_C \end{aligned}

\begin{aligned} & \Sigma M_B=0 \\ & -44,657-51,343+ \\ & +Q_D \cdot 8=0 \\ & Q_D=12 \mathrm{kN} \\ & \Sigma y=0 \\ & Q_B=Q_D \end{aligned}

\begin{aligned} & \Sigma M_D=0 \\ & 51,343+Q_E \cdot 3=0 \\ & Q_E=-17,114 \mathrm{kN} \\ & \Sigma x=0 \\ & Q_D=Q_E \end{aligned}

Diagramme des forces tranchantes

Calculs pour le diagramme des forces normales

Nœud B \begin{aligned} & \Sigma x=0 \\ & -5,05+22,164+ \\ & +N_{B D}=0 \\ & N_{B D}=-17,114 \mathrm{kN} \\ & \sum y=0 \\ & N_{B C}-12-N_{A B}=0 \\ & * N_{B C}=12+N_{A B} \\ \end{aligned} ici, nous avons cette indétermination axiale dont nous avons parlé au début

Nœud D \begin{gathered} \sum x=0(\text { spr. }) \\ -N_{B D}-17,114=0 \\ 0=0 \\ \Sigma y=0 \\ 12+N_{D E}-12=0 \\ N_{D E}=0 \mathrm{kN} \end{gathered}

Résolution de l'indétermination axiale (condition géométrique)

La force tranchante de 12 kN et sa direction nous indiquent dans quelle direction le nœud B se déplacera, c'est-à-dire quelle barre sera tendue et laquelle sera comprimée.
L'allongement de la barre BC est égal au raccourcissement de la barre AB - et c'est la condition géométrique.
Rappelons la formule pour l'allongement/raccourcissement de la barre : \( \Delta_L = \frac{N\cdot L}{EA} \)

\begin{aligned} & \Delta L_{A B}=\Delta L_{B C} \\ & \frac{-N_{A B} \cdot 4}{E A}=\frac{N_{B C} \cdot 3}{E A} \\ & -4 N_{A B}=3 N_{B C} \\ & N_{A B}=-0,75 N_{B C} \\ & * N_{B C}=12-0,75 N_{B C} \\ & \left\{\begin{array}{l} N_{B C}=6,857 \mathrm{kN} \\ N_{A B}=-5,143 \mathrm{kN} \end{array}\right. \\ & \end{aligned}

Diagramme final des forces normales

Vérification cinématique

\( \delta_i=\int \frac{Most \cdot \overline{M_i}}{EI} d S=0 \)

\begin{aligned} & \delta_2=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\begin{array}{l} \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 15 \cdot 15+\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7} \cdot 4 \cdot 44.657+\frac{1}{6} \cdot \frac{12}{7} \cdot 4 \cdot 20-\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7} \cdot 4 \cdot 16+\frac{1}{2} \cdot \frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 44.657- \\ -\frac{1}{2} \cdot \frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 51.343-\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7} \cdot 3 \cdot 51.343 \end{array}\right) \\ & \delta_2=-0.055 \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned} Erreur relative
\( \left|\frac{\delta_2}{\Delta_{2 p}}\right|=0.027 \% \quad<1,5 \% \)

Vérification statique

Nous lisons les réactions (valeurs et sens corrects) à partir des diagrammes des forces normales, tranchantes et des moments fléchissants.
Ensuite, nous écrivons les équations d'équilibre statique et vérifions si toutes les équations sont satisfaites pour les réactions lues.
\begin{aligned} & \Sigma \mathrm{x}=0 \\ & -5.05-17.114+8 \cdot 4-9.836=-0 \\ & \Sigma \mathrm{y}=0 \\ & 5.143+6.857-12=0 \\ & \Sigma \mathrm{M}_{\mathrm{D}}=0 \\ & -17.114 \cdot 3-5.05 \cdot 3+6.857 \cdot 8+15.15-8 \cdot 4 \cdot 2+9.836 \cdot 4+5.143 \cdot 8-20=0.002 \sim 0 \end{aligned}