Résistance équivalente

Parfois, avant de commencer à résoudre un problème lié à un circuit électrique, on peut le simplifier en remplaçant plusieurs résistances (ou autres éléments, par exemple dans le cas de l'analyse de circuits en courant alternatif à l'aide de la méthode symbolique) par une seule résistance (ou impédance dans le cas de l'analyse de circuits en courant alternatif).

Il y a plusieurs problèmes pour lesquels le calcul de la résistance équivalente est nécessaire pour d'autres raisons - comparez par exemple la méthode de Thévenin ou la méthode de Norton.

Connexion en série

Si les éléments sont connectés en série:

1. Le courant qui les traverse a la même valeur
2. La résistance équivalente est la somme des résistances individuelles
\begin{aligned} &R_e=R_1+R_2+...\\ &R_e=\sum{R_i} \end{aligned}

Il est très important de remarquer que le fait déterminant pour déterminer si les éléments sont connectés en série est de savoir si le même courant les traverse, cela sera mieux visible dans les exemples

Connexion en parallèle

Si les éléments sont connectés en parallèle:

1. La tension à leurs bornes a la même valeur
2. La conductance équivalente est la somme des conductances individuelles
\begin{aligned} &G_e=G_1+G_2+...\\ &G_e=\sum{G_i} \end{aligned}
3. L'inverse de la résistance équivalente est la somme des inverses des résistances individuelles
\begin{aligned} &\frac{1}{R_e}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+...\\ &\frac{1}{R_e}=\sum{\frac{1}{R_i}}\\ \end{aligned}

Il est très important de remarquer que le fait déterminant pour déterminer si les éléments sont connectés en parallèle est de savoir si la même tension se produit aux bornes de ceux-ci

Pour plus de clarté - il est très rarement vraiment avantageux d'utiliser la formule avec la conductance, mais cela aide à voir la relation qui existe pour une telle connexion d'éléments

En pratique, il est également utile de mémoriser la formule pour deux éléments connectés en parallèle:

\begin{aligned} &\frac{1}{R_e}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_2}{R_1\cdot R_1 }+\frac{R_1}{R_2\cdot R_1 }\\ &\frac{1}{R_e}=\frac{R_1+R_2}{R_1\cdot R_2}\\ &R_e=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}\\ \end{aligned}

Si jamais vous avez des doutes sur ce qui doit être mis dans le dénominateur et le numérateur, rappelez-vous que vous devez obtenir une unité correcte à la fin - \(\Omega\), donc la multiplication DOIT être dans le numérateur car:

\begin{aligned} &\frac{\Omega\cdot \Omega}{\Omega + \Omega}=\frac{\Omega^2}{\Omega}=\Omega\\ \end{aligned}

et non:

\begin{aligned} &\frac{\Omega+\Omega}{\Omega \cdot \Omega}=\frac{\Omega}{\Omega^2}=\frac{1}{\Omega}\\ \end{aligned}

Connexion mixte (série - parallèle)

Personnellement, je n'aime pas tellement cette terminologie :-) En pratique, une connexion mixte doit de toute façon être ramenée à la superposition de connexions en série et en parallèle, donc je ne vois aucune raison particulière de la distinguer en tant que cas distinct.

Cependant, à ce stade, permettez-moi de faire une petite digression - chaque résistance équivalente est calculée par rapport à deux points (bornes), ce n'est pas une valeur absolue mais seulement une simplification que nous utilisons pour nous faciliter la vie

Résistance équivalente avec les lois de Kirchhoff

Une approche TRÈS utile pour penser à la résistance équivalente, surtout dans des cas plus complexes et moins évidents qui se présentent parfois, par exemple dans des problèmes avec la méthode de Thévenin, est une approche basée sur les lois de Kirchhoff.

Imaginons un instant qu'il y a une tension \(U_{AB}\) entre les bornes AB par rapport auxquelles nous devons calculer la résistance équivalente qui provoque le courant \(I\)

Il est évident que \(R_e=\frac{U_{AB}}{I}\)

Données :

\begin{aligned} R_1 & =30 \\ R_2 & =20 \\ R_3 & =10 \end{aligned}

En utilisant les formules pour la connexion en série et en parallèle:

\begin{aligned} &R_{12}=\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}=12\\ &R_{z AB}=R_{12}+R_3=22 \end{aligned}

En utilisant les lois de Kirchhoff:

\begin{aligned} & I=I_1+I_2 \\ & I_1 \cdot R_1=I_2 \cdot R_2 \\ & U_{AB}=I_2 \cdot R_2+I \cdot R_3 \\ & R_{z AB}=\frac{U_{AB}}{I} \end{aligned}

Calculons :

\begin{aligned} & I_1=\frac{I_2 \cdot R_2}{R_1} \\ & I=\frac{I_2 \cdot R_2}{R_1}+I_2 \\ & I_2=\frac{R_1 \cdot I}{R_2+R_1} \\ & U_{AB}=\frac{R_1 \cdot I}{R_2+R_1} \cdot R_2+I \cdot R_3 \\ & R_{z AB}=\frac{\frac{R_1 \cdot I}{R_2+R_1} \cdot R_2+I \cdot R_3}{I}=\frac{R_1}{R_2+R_1} \cdot R_2+R_3=22 \end{aligned}

Et bien sûr, cela ne calcule pas réellement la résistance équivalente, mais dans des cas plus complexes, cette façon de penser peut être très utile, bien que les calculs eux-mêmes soient généralement plus complexes

Exemple 1

Données :

\begin{aligned} & R_1=10 \\ & R_2=20 \\ & R_3=10 \\ & R_4=10 \\ & R_5=20 \end{aligned}
\begin{aligned} &R_{12}=R_1+R_2=30\\ \end{aligned} \begin{aligned} & R_{45}=R_4+R_5=30 \\ \end{aligned} \begin{aligned} & R_{345}=\frac{R_3 \cdot R_{45}}{R_3+R_{45}}=7.5 \end{aligned} \begin{aligned} &R_z=R_{12}+R_{345}=37.5 \end{aligned}

Exemple 2

Données :

\begin{aligned} & R_1=10 \\ & R_2=20 \\ & R_3=10 \\ & R_4=10 \\ & R_5=20 \end{aligned} \begin{aligned} & I=I_1+I_2 \\ & I_1+I_2=I_3+I_4 \\ & I_1 \cdot R_1-I_2 \cdot R_2=0 \\ & -I_3 \cdot R_3+I_4 \cdot R_4+I_4 \cdot R_5=0 \\ & -U_{A B}+I_3 \cdot R_3+I_1 \cdot R_1=0 \\ & R_{z A B}=\frac{U_{A B}}{I} \end{aligned} \begin{array}{ll} -U_{A B}+I_3 \cdot R_3+I_1 \cdot R_1=0 & U_{A B}=10 \cdot I_3+10 \cdot I_1 \\ -I_3 \cdot R_3+I_4 \cdot R_4+I_4 \cdot R_5=0 & I_4=\frac{I_3}{3} \\ I_1 \cdot R_1-I_2 \cdot R_2=0 & I_2=\frac{I_1}{2} \\ I=I_1+I_2 & I_1=I-I_2=\frac{2 \cdot I}{3} \\ I-\frac{I_1}{2}+\frac{I_1}{2}=I_3+\frac{I_3}{3} & I_3=\frac{3 \cdot I}{4} \end{array} \begin{aligned} &U_{A B}=10 \cdot \frac{3 \cdot I}{4}+10 \cdot \frac{2 \cdot I}{3}=\frac{85 \cdot I}{6}\\ &R_{z A B}=\frac{U_{A B}}{I}=\frac{85}{6}=14.167 \end{aligned}

Pour comparaison, en utilisant les formules pour la résistance équivalente: