Método de Clebsch

Ecuación diferencial de la línea de la viga deformada

La ecuación diferencial de la línea de la viga deformada de la que partimos en el Método Clebscha tiene la siguiente forma:

\[ E J \frac{d^2 y}{d x^2}=-M_g \]

El producto \(E J\) es una notación general de la rigidez a la flexión, donde:

E - módulo de Young,
J - momento de inercia de la sección de la viga respecto al eje horizontal.

El signo "-" a la derecha de la ecuación se debe al sistema de coordenadas adoptado y a la convención que define el signo del momento flector. Específicamente, la suposición de deflexiones positivas hacia abajo, y por lo tanto, la dirección positiva del eje de deflexión hacia abajo.

Integración de la ecuación diferencial

Para determinar las deflexiones de la viga, integramos dos veces la ecuación anterior y obtenemos la primera derivada - la función del ángulo de rotación de la viga:

\[ \varphi=\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{E J}\left(\int M_g d x+C\right) \]

y la segunda derivada - la función de deflexión:

\[ y=-\frac{1}{E J}\left(\int\left(\int M_g d x\right) d x+C x+D\right) \]

donde: C y D son las constantes de integración.

Las constantes de integración se determinan a partir de las condiciones de contorno cinemáticas, es decir, condiciones de deflexiones cero y ángulos de deflexión en un tipo específico de soporte. Vea cuáles son los tipos de soportes para una viga en el plano

Reglas para aplicar el método Clebscha

Como hemos observado, el método Clebscha, bajo ciertas condiciones de forma de escritura, permite para una viga recta obtener una ecuación de la línea de deflexión que contiene solo dos incógnitas (constantes de integración) independientemente del número de intervalos.

Las reglas que regulan el uso del método Clebscha se pueden resumir en 4 puntos:

1. Sistema de coordenadas uniforme

Las abscisas en todos los intervalos deben medirse desde el mismo punto - asumimos para la viga recta un solo sistema de coordenadas, no podemos escribir, por ejemplo, partes de la función desde un lado y partes desde el otro lado de la viga.

2. Continuidad de la carga distribuida

En el caso de una carga continua, esta no puede interrumpirse - si tal caso ocurre, la carga continua debe extenderse hasta el final de la viga, añadiendo al mismo tiempo una carga igual, con signo opuesto (contracarga).

3. Forma de escribir nuevos términos

Todos los nuevos términos que se añaden en la expresión del momento flector deben contener el factor \((x- l_{i-1})\), donde \(l_{i-1}\) representa la coordenada del inicio del i-ésimo intervalo de la viga.

En caso de que aparezca un momento concentrado M – multiplicamos el momento por el brazo de acción a la potencia 0:

\[ M\cdot (x-l_{i-1})^0 \]

4. Método de integración

La integración debe realizarse sin desarrollar las expresiones en paréntesis - las constantes de integración son válidas para toda la viga (para todos los intervalos).

Si las coordenadas \(l_{\mathrm{i}}\) determinan la posición de fuerzas concentradas \(P_{\mathrm{i}}\) o los inicios de la carga continua \(q_{\mathrm{i}}\), entonces expresiones del tipo \(P_i\left(x-l_i\right)\) o \(q_i \frac{\left(x-l_i\right)^2}{2}\) se integran según el esquema:

\[ \int\left(x-l_i\right)^n d x=\frac{\left(x-l_i\right)^{n+1}}{n+1}+C \]

De este curso aprenderás:

Método Clebscha (analítico):

cómo determinar la función del momento para la viga en el método Clebscha,
cómo escribir la ecuación diferencial de la línea de la viga deformada y cómo integrarla,
cómo calcular las constantes de integración de la ecuación a partir de las condiciones de contorno para diferentes tipos de vigas,
cómo calcular la deflexión y el ángulo de rotación en cualquier punto de la viga.

Sistemas estáticamente indeterminados:

cómo determinar las reacciones en una viga estáticamente indeterminada mediante el método Clebscha.

Y ahora, echemos un vistazo al ejemplo a continuación y veamos la solución en la práctica.

Ver ejemplo

Viga de tres intervalos con diferentes tipos de cargas.
Calcular la deflexión y el ángulo de rotación en un punto dado de la viga.

Solución del ejemplo del curso en video

Contenido

Calcular la deflexión en el punto A.

Przykład 1 - metoda Clebscha — *Fig. 1. Esquema de la viga con cargas*

Solución

Calculamos las reacciones de soporte

Reakcje podporowe — *Fig. 2. Esquema con reacciones de soporte*

\[ \begin{aligned} &\sum{M_B}=0: -20\cdot 3+30\cdot 1.5+10+15\cdot 6-R_C\cdot 3=0 \Rightarrow R_A=28.33kN\\ &\sum{M_C}=0: -20\cdot 6+R_B\cdot 3-30\cdot 1.5+10+15\cdot 3=0 \Rightarrow R_B=36.67kN\\ &\sum{P_iY}=0: -20+R_B-30+R_C-15=0 \Rightarrow L=P \end{aligned} \]

Escribimos la función del momento

Escribimos la función del momento desde el lado izquierdo. La función también se puede escribir desde el lado derecho. Te animamos a verificar esta variante, calcular el desplazamiento buscado y comparar los resultados.

Funkcja momentu — *Fig. 3. Determinación de la función del momento*

\[ \begin{aligned} &M_g(x)=-20x+R_B(x-3)-\frac{1}{2}q(x-3)^2+R_C(x-6)+10(x-6)^0+\frac{1}{2}q(x-6)^2\\ &EJ\cdot w''=-M_g(x)=20x-R_B(x-3)+5(x-3)^2- 28.33(x-6)-10(x-6)^0-5(x-6)^2\\ &EJ\cdot w'=20\frac{x^2}{2}-36.67\frac{(x-3)^2}{2}+5\frac{(x-3)^3}{3}-28.33\frac{(x-6)^2}{2}-10(x-6)-5\frac{(x-6)^3}{3}+C\\ &EJ\cdot w=20\frac{x^3}{6}-36.67\frac{(x-3)^3}{6}+5\frac{(x-3)^4}{12}-28.33\frac{(x-6)^3}{6}-10\frac{(x-6)^2}{2}-5\frac{(x-6)^4}{12}+Cx+D \end{aligned} \]

Condiciones de contorno

\[ \begin{aligned} &w(x=3)=0 \Rightarrow 90+3C+D=0\\ &w(x=6)=0 \Rightarrow 588.735+6C+D=0\\ &C=-166.245\\ &D=408.735 \end{aligned} \]

Calculamos la deflexión en el punto A

Si hemos adoptado el sistema de coordenadas en el extremo izquierdo de la viga, entonces el punto A tiene la coordenada x=0.

Por lo tanto:

\[ \begin{aligned} &w_A(x=0)=\frac{1}{EI}\cdot (D)\\ &w_A=\frac{1}{EI}\cdot (408.735) \end{aligned} \]

Resistencia de materiales