Exemple 1

Pour l'arbre représenté sur le dessin, dessinez les graphiques des moments de flexion, de torsion et équivalents, puis calculez les diamètres de l'arbre à partir de la condition de sécurité. Données : 𝑛 =955⁢𝑡⁢𝑟/𝑚⁢𝑖⁢𝑛,𝑙 =1000⁢𝑚⁢𝑚,𝑁 =10⁢𝑘⁢𝑊,𝑘⁢𝑔 =60⁢𝑀⁢𝑃⁢𝑎,𝐷 =400⁢𝑚⁢𝑚

single-task-hero-img

Solution

Conversion du moment de torsion selon la formule 𝑀𝑠 =9550 ⋅𝑁⁡[𝑘⁢𝑊]𝑛⁢[𝑡⁢𝑟/𝑚⁢𝑖⁢𝑛]⁢𝑀𝑠 =9550 ⋅10955 =100⁢𝑁⁡𝑚

La force F sur le bras de la moitié de la poulie reçoit un moment de torsion qui est transmis par le moteur à l'extrémité de l'arbre. Le moment de torsion se produit entre le moteur et la poulie. Calculons la force F sur la poulie.

𝐹⋅0,2=100⇒𝐹=500⁢𝑁

Nous avons affaire à une flexion de l'arbre dans un seul plan et à une torsion.

Graphique du moment de torsion et schéma pour le calcul du moment de flexion.

𝑥1∈(0;0,5)𝑀⁡(𝑥1)=−𝑅𝐴⁢𝑍⋅𝑥1𝑀⁡(0)=0⁢𝑁⁢𝑚𝑀⁡(0,5)=−125⁢𝑁⁢𝑚𝑥2∈(0,5;1)𝑀⁡(𝑥1)=−𝑅𝐴⁢𝑍⋅𝑥2+500⋅(𝑥2−0,5)𝑀⁡(0,5)=−125⁢𝑁⁢𝑚𝑀⁡(1)=0⁢𝑁⁢𝑚

Graphique du moment de flexion.

Calculons la valeur du moment équivalent aux points caractéristiques.

𝑀𝑧⁢𝑎⁢𝑠=√𝑀2𝑔+34⁢𝑀2𝑠𝑀𝐴𝑧⁢𝑎⁢𝑠=√02+34⋅1002=86,6⁢Nm𝑀𝐶⁢𝐴𝑧⁢𝑎⁢𝑠=√1252+34⋅1002=152,1⁢Nm𝑀𝐶⁢𝐵𝑧⁢𝑎⁢𝑠=√1252+34⋅02=125⁢Nm𝑀𝐵𝑧⁢𝑎⁢𝑠=√02+34⋅02=0⁢Nm

Graphique du moment équivalent

Dimensionnons l'arbre pour un moment équivalent maximal. Utilisons la formule dérivée.

𝑀max𝑧⁢𝑎⁢𝑠=152,1⁢Nm𝑑≥3√32⁢𝑀𝑧⁢𝑎⁢𝑠𝜋⋅𝑘𝑔𝑑≥0,0295⁢ m𝑑=3⁢ cm