Solution YT

à partir de 18h45

Solution classique

Projection de la force sur la barre AC selon la composante horizontale et verticale.

Équations d'équilibre statique pour le nœud A. \begin{aligned} &\sum{Y}=0\\ &N_{AC}\cdot\sin30^{o}=0\\ &N_{AC}=2G\\ &\sum{X}=0\\ &-N_{AB}-N_{AC}\cdot\cos30^{o}=0\\ &N_{AB}=-2G\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\ &N_{AB}=-G\sqrt3\\ \end{aligned} Condition de résistance
Barre AB \begin{aligned}&\sigma=|\frac{N}{A}|\le k\\ \\ &\sigma_{AB}=\frac{G\sqrt2}{a^{2}}\le 40 \ MPa\\ &\frac{50\cdot 10^{3}\cdot \sqrt3}{40\cdot 10^{6}}\le a^{2}\\ &a\ge \sqrt\frac{50\cdot 10^{3}\cdot \sqrt3}{40\cdot 10^{6}}\\ &a\ge 0,0465 \ m\\ &a=0,047 \ m=4,7 \ cm\\ \end{aligned} Barre AC \begin{aligned} &\sigma_{AC}=\frac{2G}{\frac{\pi d^{2}}{4}}\le 160 \ MPa\\ &\frac{2\cdot 50\cdot 10^{3}\cdot 4}{160\cdot 10^{6}\cdot\pi}\le d^{2}\\ &d\ge \sqrt\frac{2\cdot 50\cdot 10^{3}\cdot 4}{160\cdot 10^{6}\cdot\pi}\\ &d\ge 0,0282 \ m\\ &d=0,03 \ m=3 \ cm\\ \end{aligned} Tracez un plan de déplacement pour calculer le déplacement horizontal et vertical du point A.
Nous trions les allongements et les raccourcissements des barres (le long de leurs axes).

Calculons l'allongement de la barre AC (force positive dans la barre) et le raccourcissement de la barre AB (force négative - barre comprimée). \begin{aligned} \Delta l &= \frac{Nl}{EA} \\ \Delta l_{AB} &= \frac{-50 \cdot \sqrt{3} \cdot 10^{3} \cdot 1.2}{E_{m} \cdot a^{2}} = \frac{-50 \cdot \sqrt{3} \cdot 10^{3} \cdot 1.2}{1.15 \cdot 10^{11} \cdot 0.047^{2}} = -4.09 \times 10^{-4} \ m = -0.409 \ mm \end{aligned} Calculons la longueur de la barre AC et son allongement. \begin{aligned} &\frac{1,2}{|AC|}=\cos30^{o} & \\ & |AC|=\frac{1,2}{\cos30^{o}}=1,386\\ &\Delta l_{AC}=\frac{50\cdot 2\cdot 10^{3}\cdot |AC|}{E_{s}\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}}=\frac{50\cdot 2\cdot 10^{3}\cdot 1,386\cdot 4}{2,1\cdot 10^{11}\cdot\pi\cdot 0,03^{2}}=9,337\cdot 10^{-4} \ m=0,934 \ mm\\ \end{aligned} Traçons la ligne admissible de déplacements allongés/contractés des barres et trouvons leur intersection - c'est là que le point A se déplacera finalement.

On peut observer un triangle vert, notons deux de ses côtés comme a, b et remarquons qu'il est similaire au petit triangle a', b', \( \Delta l_{AB} \).

Calculons le côté a. \begin{aligned} &a=a' + |\Delta l_{AC}|\\ &|\Delta l_{AC}|=0,934 \ mm\\ &\frac{|\Delta l_{AB}|}{a'}=\cos30^{o}\\ &a'=\frac{0,409}{\frac{\sqrt3}{2}}=0,47 \ mm\\ &a=0,47 + 0,934 = 1,404 \ mm \end{aligned} Calculons le côté b. \begin{aligned} &b=b' + \Delta_{y}\\ &\frac{b'}{a'}=sin30^{o}\\ &b'=0,47\cdot 0,5 = 0,235 \ mm\\ &\frac{a}{b}=\sin30^{o}\\ &b=\frac{a}{sin30^{o}}=\frac{1,404}{0,5}\\ &b=2,808 \ mm\\ \end{aligned} Calculons le déplacement vertical et horizontal du point A. \begin{aligned} &\Delta_{y}=b-b'\\ &\Delta_{y}=2,808 - 0,235 = 2,573 \ mm\\ &\Delta_{x}=\Delta l_{AB} = 1,438 \ mm\\ \end{aligned}