Types de supports sur un plan et dans l'espace 3D

Qu’est-ce qu’un appui en mécanique des structures ?

Un appui en mécanique des structures est un élément qui fournit une réaction aux forces et moments agissant sur la structure. Dans le contexte de l’ingénierie et du dimensionnement des structures, les appuis sont des composants essentiels qui permettent le transfert des charges, assurent la stabilité et l’équilibre de la structure, et permettent son fonctionnement en toute sécurité et efficacité.

Le nombre de mouvements indépendants qu’un objet peut effectuer dans un plan

Différents types d’appuis limitent diverses possibilités de mouvement dans un plan ou dans l’espace.
Dans un plan, il existe trois principaux degrés de liberté de mouvement :

• Translation selon l’axe X : un mouvement le long de l’axe X horizontal, permettant à l’objet de se déplacer dans le plan vers la gauche ou la droite.

• Translation selon l’axe Y : un mouvement le long de l’axe Y vertical, permettant à l’objet de se déplacer vers le haut ou vers le bas dans le plan.

• Rotation autour de l’axe vertical (Z) : une rotation de l’objet autour d’un axe perpendiculaire au plan, généralement appelé axe Z. Ce mouvement permet à l’objet de pivoter autour du centre du plan.

Il convient de noter que les degrés de liberté peuvent varier en fonction du contexte et des spécificités de la structure. Par exemple, un mécanisme complexe peut inclure des mouvements supplémentaires, tels que l’inclinaison ou la rotation autour d’autres axes.
Lors de l’analyse du mouvement des objets dans un plan, ces trois degrés de liberté fondamentaux constituent un point de référence clé.

Types d’appuis dans un plan

Étant donné que dans un plan nous avons trois degrés de liberté de mouvement, les appuis peuvent supprimer ces degrés de liberté selon différentes combinaisons. Le fait pour un appui de supprimer la possibilité de mouvement (par ex. horizontal) entraîne la naissance d’une réaction dans l’appui dans cette direction. Nous allons d’abord caractériser brièvement les types d’appuis dans un plan, puis, pour plus de clarté, nous résumerons sous forme de tableau les informations suivantes sur les appuis dans un plan :
- nom(s) courant(s),
- symbole(s) graphique(s),
- réaction(s) apparaissant,
- degré(s) de liberté supprimé(s).

a) appui articulé glissant

Il bloque la possibilité de mouvement linéaire dans une direction, autorise le mouvement dans la direction perpendiculaire et la rotation. Voici les symboles graphiques rencontrés dans la littérature :

Fig.1. Appui articulé glissant

Le trait horizontal sous le symbole triangulaire de l’appui articulé indique dans quelle direction le mouvement est possible. La direction perpendiculaire à celle offrant un mouvement est bloquée, et dans cette direction se forme une réaction. Bien sûr, un appui articulé glissant peut être utilisé à différents angles, comme ci-dessous :

Fig.2. Appui articulé glissant à différents angles avec la réaction indiquée

Si l’appui et la réaction sont inclinés, il est souvent plus facile pour les calculs de décomposer cette réaction en composantes :

Fig.3. Décomposition de la réaction en composantes

Après la décomposition en composantes, dans les calculs on utilise soit la réaction résultante (en rouge) soit les deux composantes (en bleu) – jamais les deux en même temps. Autrement dit, lors de l’écriture des équations d’équilibre statique ou pour déterminer les efforts internes, on choisit d’utiliser soit les composantes, soit la résultante, mais pas les deux simultanément.

b) appui articulé non glissant

Dans un appui articulé non glissant, il y a en réalité une seule réaction, mais nous n’en connaissons pas la direction. Il est donc préférable de représenter directement deux composantes de cette réaction. Elles n’ont pas besoin d’être forcément verticale et horizontale, mais doivent être perpendiculaires. Il est à noter également que le sens des réactions n’a pas d’importance et est simplement une question de convention. Sur la figure ci-dessous, outre le symbole de l’appui, on représente aussi une barre en sortie de l’appui (l’angle de cette barre n’a pas d’importance non plus).

Fig.4. Appui articulé non glissant

Attention ! Si la barre sortante est également articulée à l’autre extrémité, alors nous avons affaire à une barre de treillis/tirant/câble, sur laquelle vous trouverez plus d’informations ci-dessous.

Souvent, le dilemme concernant la représentation des réactions se pose lorsqu’on voit un appui non glissant à un angle différent. Il faut se rappeler que dans un tel appui, il y a toujours deux réactions perpendiculaires entre elles, et c’est à nous de choisir leurs directions. Toutes les variantes présentées ci-dessous sont correctes.

Fig.5. Appui articulé non glissant avec réactions indiquées

c) barre de treillis/tirant/câble

On peut rencontrer par exemple une poutre/un portique appuyé sur un appui articulé non glissant + un câble (Voir exemple gratuit 1)

Fig.6. Système de portique soutenu par un câble

ou une poutre soutenue uniquement par des câbles (Voir exemple gratuit 2)

Fig.7. Poutre soutenue par trois tirants

Pour que l’on puisse parler de câble/tirant/barre de treillis, les conditions suivantes doivent être remplies :

- la barre doit être articulée à ses deux extrémités (ce sont les nœuds de la barre),
- la barre doit être linéaire (pas de rupture, voir l’exemple ci-dessous),
- il ne doit pas y avoir de charge entre les nœuds,
- la charge peut au maximum être appliquée sur un nœud (en gardant à l’esprit que si c’est un moment concentré, il ne peut pas être appliqué strictement sur l’articulation, mais à l’une ou l’autre extrémité)

Une barre de treillis se caractérise essentiellement par :

- la présence d’une seule force axiale (normale),
- l’absence de forces tranchantes et de moments fléchissants.

Ci-dessous, à gauche, un exemple de deux barres de treillis, à droite, en raison de l’absence d’articulation au milieu, la barre n’est pas linéaire, donc nous n’avons pas affaire à une barre de treillis mais à un système de portique soutenu par deux appuis articulés non glissants.

Fig.8. Exemple de classification d’une barre de treillis et d’un système de portique

C’est là une différence fondamentale entre ces deux types de constructions, et leur calcul est complètement différent. Dans les appuis articulés, on représente les réactions comme indiqué précédemment, tandis que pour ce qui est des réactions dans une barre de treillis, nous avons deux façons de les représenter :

1. Couper la barre et montrer les forces internes (axiales) dans la barre, en écartant la partie externe de la structure.
2. Montrer la réaction à l’extrémité de la barre, à l’extérieur de la structure, c’est-à-dire au niveau de l’appui ; la réaction n’apparaît que dans l’axe de la barre.

Fig.9. Deuxième variante de la réaction dans la barre de treillis et réactions dans un système de portique articulé

Fig.10. Première variante de représentation de la réaction/forces dans la barre de treillis

Sur notre site, vous trouverez plutôt la première variante, car elle nous semble plus adaptée.
Dans l’exemple ci-dessus :

a) on coupe la barre,
b) on montre les forces dans la barre (toujours soit vers l’intérieur, soit vers l’extérieur – il est préférable de supposer comme ci-dessus, vers l’intérieur, en considérant la barre en traction),
c) on écarte les parties extérieures à la construction.

Pour cet exemple, cette opération réduit le système à l’équilibre du nœud.

d) encastrement complet/console

L’encastrement complet, c’est-à-dire un appui encastré, supprime toutes les possibilités de mouvement dans le plan, c’est-à-dire le mouvement linéaire et la rotation. Il présente donc trois réactions : deux forces concentrées perpendiculaires entre elles et un moment fléchissant concentré. Comme dans le cas de l’appui articulé non glissant, les directions et sens des réactions sont affaire de choix (il faut seulement se souvenir que les forces doivent être perpendiculaires entre elles).

Fig.11. Façons de représenter un encastrement complet et ses réactions

e) encastrement avec glissement/patin

L’encastrement avec glissement permet le mouvement linéaire dans une direction, tout en bloquant le mouvement linéaire dans la direction perpendiculaire et la rotation. On peut distinguer un patin vertical et un patin horizontal, mais l’encastrement avec glissement peut également être à n’importe quel angle. Ci-dessous, quelques possibilités de représentation du patin avec les réactions correspondantes.

Fig.12. Patin vertical et horizontal avec leurs réactions

Fig.13. Autres possibilités d’encastrement avec glissement et leurs réactions

f) blocage de rotation/cale

Il s’agit d’un type d’appui très rarement rencontré et généralement non explicitement utilisé dans les exercices standard, mais on peut le rencontrer le plus souvent en résolvant une poutre/un portique par la méthode des travaux virtuels et, bien sûr, dans presque tous les problèmes de mécanique des structures – méthodes des déplacements.

Le blocage de rotation est une liaison qui, comme son nom l’indique, bloque uniquement la possibilité de rotation du point (nœud). On peut trouver les représentations graphiques suivantes de ce blocage :

Fig.14. Représentation graphique d’un appui/liaison – blocage de rotation

Dans cet appui, il y a uniquement une réaction sous forme de moment fléchissant, le nœud est libre de se déplacer dans toutes les directions, mais ne peut pas pivoter – cela signifie que la forme du nœud après le déplacement doit rester la même qu’avant. Le premier symbole à gauche ressemble à une cale, et on peut rencontrer cette dénomination. Le troisième symbole ressemble à un patin à la fois vertical et horizontal.

Degrés de liberté du mouvement dans l’espace 3D

Dans l’espace tridimensionnel (3D), il existe six principaux degrés de liberté de mouvement qui définissent le nombre de mouvements indépendants que peut effectuer un objet. Les voici :

• Translation selon l’axe X,

• Translation selon l’axe Y,

• Translation selon l’axe Z,

• Rotation autour de l’axe X,

• Rotation autour de l’axe Y,

• Rotation autour de l’axe Z.

Tous ces degrés de liberté définissent ensemble comment un objet peut se déplacer et tourner dans l’espace 3D. Grâce à cette classification, les ingénieurs et concepteurs peuvent analyser et modéliser les mouvements d’objets et de structures en trois dimensions.

Types d’appuis dans l’espace 3D

Dans un système plan, ayant 3 degrés de liberté de mouvement (translation X, translation Y, rotation Z), nous avons pu distinguer 6 types d’appuis en fonction des combinaisons de degrés de liberté supprimés.
Il sera difficile d’établir une classification similaire des appuis dans l’espace 3D. Nous donnerons donc ci-dessous plutôt des principes généraux concernant les appuis et les appuis les plus courants dans des structures telles que :

a) poutres treillis articulées,
b) poutres treillis rigides,
c) portiques 3D.

On appelle treillis une structure plane en barres, chargée perpendiculairement au plan des poutres du treillis. Selon le mode de liaison des poutres, on distingue :

a) poutres treillis articulées

Les poutres du treillis sont reliées entre elles par des articulations, ce qui leur permet de pivoter librement les unes par rapport aux autres. Cette liaison permet uniquement au balancier reliant les poutres de transmettre une force verticale (perpendiculaire au plan du treillis).
Comme la charge du treillis agit perpendiculairement au plan des poutres, et comme les poutres ne se transmettent entre elles que la force transversale, dans un treillis articulé, seules apparaissent des forces transversales et des moments fléchissants. Cela influe sur les réactions pouvant apparaître dans les appuis. Nous pouvons distinguer les appuis suivants :

- appui articulé

Ici, peu importe s’il est représenté comme glissant ou non – on ne représente pas de réactions dans le plan du treillis, uniquement la réaction hors du plan.

Fig.15. Façons de représenter un appui articulé dans un treillis articulé

- patin vertical

Ci-dessous, un patin vertical représenté de deux façons, avec la réaction sous forme de moment – indiqué de deux manières : sous forme de vecteur de moment et sous forme de moment sur une « petite note ». Les deux notations sont équivalentes. Dans le patin, il n’y a pas de réaction verticale. Dans les treillis, on omet généralement les réactions dans l’axe des poutres, donc ici on n’a qu’une réaction sous forme de moment – c’est un moment fléchissant pour la barre, car les treillis articulés ne transmettent pas la torsion (en raison des articulations).

Fig.16. Patin vertical avec réactions pour un treillis articulé

- encastrement complet

Dans l’encastrement d’un treillis articulé, nous avons une réaction sous forme de moment fléchissant pour la poutre et une force verticale. Ci-dessous, la réaction sous forme de moment est présentée sur un même schéma de deux façons.

Fig.17. Encastrement complet avec réactions pour un treillis articulé

Vous trouverez des solutions d’exercices sur les treillis articulés dans le cours en ligne mécanique des structures – plus précisément ici. Ces ressources sont disponibles sur abonnement (un abonnement donne accès à tous les supports du site – c’est-à-dire à tous les cours en ligne).

b) poutres treillis rigides

Dans les treillis rigides, les poutres sont reliées rigidement (on peut imaginer que les barres sont scellées entre elles). La flexion des poutres disposées dans une direction provoque la flexion et la torsion des poutres disposées dans l’autre direction.

Dans les treillis rigides, nous avons les mêmes appuis que dans les treillis articulés, mais ici, la différence est que nous avons également de la torsion. Ainsi, dans l’encastrement, en plus du moment fléchissant, il y aura une réaction sous forme de moment de torsion. Nous aurons également plus d’options de patins (l’un bloquant la flexion, l’autre la torsion, ou les deux).

Types d’appuis dans les treillis rigides :

- appui articulé

Exactement comme dans le treillis articulé. Peu importe qu’il soit dessiné comme glissant ou non – on ne représente pas de réactions dans le plan du treillis, seulement la réaction hors du plan.

Fig.18. Façons de représenter un appui articulé dans un treillis rigide

- patin vertical

Comme mentionné auparavant, nous avons trois types de patins dans un treillis rigide :

- avec une réaction sous forme de moment de torsion,
- avec une réaction sous forme de moment fléchissant,
- avec les deux réactions mentionnées ci-dessus.

Ici, nous avons une façon différente de représenter le patin que précédemment. Dans la littérature, il est difficile de trouver des exemples de patins pour un treillis rigide, mais la notation ci-dessous semble raisonnable. Elle correspond également à celle utilisée, par exemple, dans le logiciel Robot Structural Analysis.

Fig.19. Patins verticaux avec réactions pour un treillis rigide

La première notation peut souvent être utilisée comme un encastrement complet, il est donc préférable de préciser, si possible, quel type d’appui l’auteur du problème avait en tête.

- encastrement complet

Si nous voulions être cohérents et adopter une notation similaire à celle du patin, il faudrait représenter l’encastrement complet comme montré à gauche, cependant, je pense que la notation la plus populaire restera la plus simple, déjà rencontrée auparavant – présentée à droite.

Fig.20. Encastrement complet dans un treillis rigide avec réactions

c) portiques 3D

Dans un portique spatial, nous avons 6 liaisons, donc les réactions peuvent être reprises par ces liaisons dans différentes configurations. Le plus souvent, on rencontre un encastrement complet ainsi que des barres d’appui ordinaires qui suppriment la possibilité de mouvement dans la direction où elles sont disposées.
Ci-dessous quelques possibilités d’appuis :

- barre d’appui/appui articulé glissant

Fig.21. Blocage du mouvement dans une direction avec sa réaction

Au même endroit, on peut avoir un, deux ou trois blocages de direction, voici donc la variante avec deux blocages au même endroit :

- barres d’appui/appui articulé glissant

Fig.22. Blocage du mouvement dans deux directions avec leurs réactions

- appui articulé non glissant

Fig.23. Appui articulé non glissant avec ses réactions

- encastrement complet

Fig.24. Encastrement complet avec ses réactions

On ne rencontre généralement pas d’autres types d’appuis que ceux mentionnés ci-dessus dans les systèmes spatiaux (du moins je n’en ai pas rencontrés). En principe, il est également possible de bloquer n’importe quelle combinaison de direction de mouvement linéaire et de rotation, par exemple :

Fig.25. Différentes combinaisons de blocages du mouvement linéaire et de rotation avec leurs réactions

et ainsi de suite.