Przykład 1

Dana jest funkcja \( f(x) = 2x^2 + 5x + 3 \) w przedziale \( x \in [-2, 6] \). Przedział ten podzielono na 4 elementy skończone o równej długości i ponumerowano zgodnie z kierunkiem osi \( x \). W każdym z elementów skończonych dokonano interpolacji danej funkcji liniowymi funkcjami kształtu Lagrange'a.

Podaj odpowiedzi na poniższe pytania z dokładnością do 4 cyfr znaczących, użyj kropki jako separatora części dziesiętnej. W nawiasach podano liczbę punktów za poszczególne odpowiedzi.

Jaka jest wartość pierwszego stopnia swobody \( \alpha_1 \) dla elementu numer 3?

Jaka jest wartość drugiego stopnia swobody \( \alpha_2 \) dla elementu numer 3?

Jaka jest wartość funkcji interpolującej w punkcie o współrzędnej \( x = 3.4 \)?

Jaka jest wartość bezwzględna funkcji błędu w punkcie o współrzędnej \( x = 3.4 \)?

Rozwiązanie

Obliczamy długość przedziałów i położenie węzłów, szkicujemy:

\begin{aligned} & a = -2 \\ & b = 6 \\ & n = 4 \\ \end{aligned} \begin{aligned} & h = \frac{b - a}{n} = 2 \\ & x_1 = a = -2 \\ & x_2 = a + h = 0 \\ & x_3 = a + 2h = 2 \\ & x_4 = a + 3h = 4 \\ & x_5= a + 4h = 6 \\ \end{aligned}

Stopnie swobody w interpolacji to po prostu wartości funkcji w węzłąch:

\begin{aligned} & f(2)=21 \\ & f(4)=55 \end{aligned}

Mając stopnie swobody możemy skorzystać z interpolacji liniowej:

\begin{aligned} & \xi = \frac{1.4}{2} \\ & u_h = \begin{bmatrix} 21 \\ 55 \end{bmatrix} \quad \quad N = \begin{bmatrix} 1 - \xi & \xi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.3 & 0.7 \end{bmatrix} \\ & N \cdot u_h = 44.8 \end{aligned}

Obliczenie błędu:

\begin{aligned} |f(3.4)-44.8|=1.68 \end{aligned}