EduPanda - Momenty i wskaźniki bezwładności

Momenty bezwładności figur płaskich

Figura	Osi \(X_cY_c\)	Osi \(XY\)
	\(I_{x_c} = \frac{b \cdot h^3}{12}\) \(I_{y_c} = \frac{h \cdot b^3}{12}\) \(I_{x_c y_c} = 0\)	\(I_x = \frac{b \cdot h^3}{3}\) \(I_y = \frac{h \cdot b^3}{3}\) \(I_{XY} = \frac{b^2 h^2}{4}\)
	\(I_{x_c} = \frac{b \cdot h^3}{36}\) \(I_{y_c} = \frac{h \cdot b^3}{36}\) \(I_{x_c y_c} = -\frac{b^2 h^2}{72}\)	\(I_x = \frac{b \cdot h^3}{12}\) \(I_y = \frac{h \cdot b^3}{12}\) \(I_{XY} = \frac{b^2 h^2}{24}\)
	\(I_{x_c} = \frac{\pi \cdot D^4}{64} = \frac{\pi R^4}{4}\) \(I_{y_c} = \frac{\pi \cdot D^4}{64} = \frac{\pi R^4}{4}\) \(I_{x_c y_c} = 0\)	\(I_x = \frac{\pi \cdot D^4}{128} = \frac{\pi R^4}{8}\) \(I_y = \frac{\pi \cdot D^4}{128} = \frac{\pi R^4}{8}\) \(I_{XY} = 0\)

Znakowanie momentów dewiacja

Momenty bezwładności krzywych

Środek masy	Osi \(X_cY_c\)	Osi \(XY\)
\begin{aligned} x' &= \frac{l}{2} \cos \alpha, \\ y' &= \frac{l}{2} \cos \alpha \end{aligned}	\begin{aligned} I_{X_c} &= \frac{l^3}{12} \sin^2 \alpha, \\ I_{Y_c} &= \frac{l^3}{12} \cos^2 \alpha \end{aligned}	\begin{aligned} I_X &= \frac{l^3}{3} \sin^2 \alpha, \\ I_Y &= \frac{l^3}{3} \cos^2 \alpha \end{aligned}
\[ \begin{aligned} x' &= \frac{2r}{\pi}, \\ y' &= \frac{2r}{\pi} \end{aligned} \]	\[ \begin{aligned} I_{X_c} &= I_{Y_c} = r^3 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{2}{\pi}\right) \end{aligned} \]	\[ \begin{aligned} I_X &= I_Y = \frac{\pi \cdot r^3}{4} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} x' &= 0, \\ y' &= \frac{2r}{\pi} \end{aligned} \]	\[ \begin{aligned} I_{X_c} &= I_{Y_c} = r^3 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{2}{\pi}\right) \end{aligned} \]	\[ \begin{aligned} I_X &= I_Y = \frac{\pi \cdot r^3}{2} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} x' &= 0, \\ y' &= 0 \end{aligned} \]	\[ \begin{aligned} I_{X_c} &= I_{Y_c} = \pi \cdot r^3 \end{aligned} \]	\[ \begin{aligned} I_X &= I_Y = \pi \cdot r^3 \end{aligned} \]

Podstawowe wzory

Wzór Steinera

\[ I_{y_c} = I_{y_1} + A_1 (z_1 - z_c)^2 \pm [I_{y_2} + A_2 (z_2 - z_c)^2] \pm \cdots \] \[ I_{z_c} = I_{z_1} + A_1 (y_1 - y_c)^2 \pm [I_{z_2} + A_2 (y_2 - y_c)^2] \pm \cdots \] \[ D_c = D_1 + A_1 (y_1 - y_c)(z_1 - z_c) \pm [D_2 + A_2 (y_2 - y_c)(z_2 - z_c)] \pm \cdots \]

Momenty bezwładności główne centralne

\[ I_1 = \frac{I_{y_c} + I_{z_c}}{2} + \sqrt{\left(\frac{I_{y_c} - I_{z_c}}{2}\right)^2 + D_c^2} \] \[ I_2 = \frac{I_{y_c} + I_{z_c}}{2} - \sqrt{\left(\frac{I_{y_c} - I_{z_c}}{2}\right)^2 + D_c^2} \]

Kąt obrotu osi

\[ \tan \varphi_1 = \frac{D_c}{I_{z_c} - I_1} \] \[ \tan \varphi_2 = \frac{D_c}{I_{z_c} - I_2} \]

Wskaźniki wytrzymałości i momenty bezwładności podstawowych figur płaskich

Moment bezwładności na zginanie \( I_z \)	Wskaźnik wytrzymałości na zginanie \( W_z \)	Moment bezwładności na skręcanie \( I_s \)	Wskaźnik wytrzymałości na skręcanie \( W_s \)
\( \frac{b \cdot h^3}{12} \)	\( \frac{b \cdot h^2}{6} \)	---	---
\( \frac{b \cdot h^3}{36} \)	\( \frac{b \cdot h^2}{24} \)	---	---
\( \frac{\pi \cdot d^4}{64} \)	\( \frac{\pi \cdot d^3}{32} \)	\( \frac{\pi \cdot d^4}{32} \)	\( \frac{\pi \cdot d^3}{16} \)
\( \frac{\pi \cdot (D^4 - d^4)}{64} \)	\( \frac{\pi \cdot (D^4 - d^4)}{32D} \)	\( \frac{\pi \cdot (D^4 - d^4)}{32} \)	\( \frac{\pi \cdot (D^4 - d^4)}{16D} \)