Momenty bezwładności figur płaskich
Figura | Osi \(X_cY_c\) | Osi \(XY\) |
---|---|---|
\(I_{x_c} = \frac{b \cdot h^3}{12}\)
|
\(I_x = \frac{b \cdot h^3}{3}\)
|
|
\(I_{x_c} = \frac{b \cdot h^3}{36}\)
|
\(I_x = \frac{b \cdot h^3}{12}\)
|
|
\(I_{x_c} = \frac{\pi \cdot D^4}{64} = \frac{\pi R^4}{4}\)
|
\(I_x = \frac{\pi \cdot D^4}{128} = \frac{\pi R^4}{8}\)
|
Znakowanie momentów dewiacja
Momenty bezwładności krzywych
Krzywa | Środek masy | Osi \(X_cY_c\) | Osi \(XY\) |
---|---|---|---|
\begin{aligned} x' &= \frac{l}{2} \cos \alpha, \\ y' &= \frac{l}{2} \cos \alpha \end{aligned} |
\begin{aligned} I_{X_c} &= \frac{l^3}{12} \sin^2 \alpha, \\ I_{Y_c} &= \frac{l^3}{12} \cos^2 \alpha \end{aligned} |
\begin{aligned} I_X &= \frac{l^3}{3} \sin^2 \alpha, \\ I_Y &= \frac{l^3}{3} \cos^2 \alpha \end{aligned} |
|
\[ \begin{aligned} x' &= \frac{2r}{\pi}, \\ y' &= \frac{2r}{\pi} \end{aligned} \] |
\[ \begin{aligned} I_{X_c} &= I_{Y_c} = r^3 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{2}{\pi}\right) \end{aligned} \] |
\[ \begin{aligned} I_X &= I_Y = \frac{\pi \cdot r^3}{4} \end{aligned} \] |
|
\[ \begin{aligned} x' &= 0, \\ y' &= \frac{2r}{\pi} \end{aligned} \] |
\[ \begin{aligned} I_{X_c} &= I_{Y_c} = r^3 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{2}{\pi}\right) \end{aligned} \] |
\[ \begin{aligned} I_X &= I_Y = \frac{\pi \cdot r^3}{2} \end{aligned} \] |
|
\[ \begin{aligned} x' &= 0, \\ y' &= 0 \end{aligned} \] |
\[ \begin{aligned} I_{X_c} &= I_{Y_c} = \pi \cdot r^3 \end{aligned} \] |
\[ \begin{aligned} I_X &= I_Y = \pi \cdot r^3 \end{aligned} \] |
Podstawowe wzory
Wzór Steinera
\[ I_{y_c} = I_{y_1} + A_1 (z_1 - z_c)^2 \pm [I_{y_2} + A_2 (z_2 - z_c)^2] \pm \cdots \] \[ I_{z_c} = I_{z_1} + A_1 (y_1 - y_c)^2 \pm [I_{z_2} + A_2 (y_2 - y_c)^2] \pm \cdots \] \[ D_c = D_1 + A_1 (y_1 - y_c)(z_1 - z_c) \pm [D_2 + A_2 (y_2 - y_c)(z_2 - z_c)] \pm \cdots \]
Momenty bezwładności główne centralne
\[ I_1 = \frac{I_{y_c} + I_{z_c}}{2} + \sqrt{\left(\frac{I_{y_c} - I_{z_c}}{2}\right)^2 + D_c^2} \] \[ I_2 = \frac{I_{y_c} + I_{z_c}}{2} - \sqrt{\left(\frac{I_{y_c} - I_{z_c}}{2}\right)^2 + D_c^2} \]
Kąt obrotu osi
\[ \tan \varphi_1 = \frac{D_c}{I_{z_c} - I_1} \] \[ \tan \varphi_2 = \frac{D_c}{I_{z_c} - I_2} \]
Wskaźniki wytrzymałości i momenty bezwładności podstawowych figur płaskich
Przekrój | Moment bezwładności na zginanie \( I_z \) | Wskaźnik wytrzymałości na zginanie \( W_z \) | Moment bezwładności na skręcanie \( I_s \) | Wskaźnik wytrzymałości na skręcanie \( W_s \) |
---|---|---|---|---|
\( \frac{b \cdot h^3}{12} \) |
\( \frac{b \cdot h^2}{6} \) |
--- | --- | |
\( \frac{b \cdot h^3}{36} \) |
\( \frac{b \cdot h^2}{24} \) |
--- | --- | |
\( \frac{\pi \cdot d^4}{64} \) |
\( \frac{\pi \cdot d^3}{32} \) |
\( \frac{\pi \cdot d^4}{32} \) |
\( \frac{\pi \cdot d^3}{16} \) |
|
\( \frac{\pi \cdot (D^4 - d^4)}{64} \) |
\( \frac{\pi \cdot (D^4 - d^4)}{32D} \) |
\( \frac{\pi \cdot (D^4 - d^4)}{32} \) |
\( \frac{\pi \cdot (D^4 - d^4)}{16D} \) |