Edupanda » Teoria obwodów » Metoda Operatorowa

Metoda Operatorowa

Metoda operatorowa polega na zastąpieniu układu równań różniczkowych opisujacego dany obwód poprzez układ równań algebraicznych zmiennej s

Tok rozwiązania:

  1. Obliczenie warunków początkowych poprzez rozwiązanie układu w stanie przed przełączeniem
  2. Zastąpienie elementów przez ich wersje operatorowe
  3. Rozwiązanie nowopowstałego układu
  4. Obliczenie transformaty odwrotnej

Schematy operatorowe elementów RLC

Rezystor

\begin{aligned} & u_R(t)=R i_R(t) \\ & \mathcal{L}\left[u_R(t)\right]=\mathcal{L}\left[R i_R(t)\right]\\ & U_R(s)=R I_R(s)\\ \end{aligned}

Cewka

\begin{aligned} & u_L(t)=L \frac{d i_L}{d t} \\ & \mathcal{L}\left[u_L(t)\right]=\mathcal{L}\left[L \frac{d i_L}{d t}\right]\\ & U_L(s)=s L I_L(s)-L i_L(0)\\ & I_L(s)=\frac{i_L(0)}{s}+\frac{U_L(s)}{L \cdot s}\\ \end{aligned}

Kondensator

\begin{aligned} & i_C(t)=C \frac{d u_C(t)}{d t}\\ & \mathcal{L}\left[i_L(t)\right]=\mathcal{L}\left[C \frac{d u_C}{d t}\right]\\ & I_C(s)=s C U_C(s)-C u_C(0)\\ & U_C(s)=\frac{1}{s C} I(s)+\frac{1}{s C} u_C(0)\\ \end{aligned}

Obliczanie transformaty odwrotnej

Dla przytłaczającej większości rozważanych obwodów transformate możemy zapisać w postaci:

\begin{aligned} F(s)=\frac{L(s)}{M(s)} \end{aligned}

Pierwiastki licznika \(L(s)=0\) nazywamy zerami funkcji

Pierwiastki mianownika \(M(s)=0\) nazywamy biegunami funkcji

Aby obliczyć oryginał takiej transformaty możemy skorzystać ze wzorów zebranych poniżej:


Lp. Transformata Pierwiastki Oryginał
\(1\) \(F(s)=\frac{L(s)}{M(s)} \) pierwiastki mianownika rzeczywiste lub urojone \(f(t)=\sum_{k=1}^n \frac{L\left(s_k\right)}{M^{\prime}\left(s_k\right)} \mathrm{e}^{S_k t}\)
\(2 \) \(F(s)=\frac{L(s)}{s M(s)} \) pierwiastki mianownika rzeczywiste i jeden s=0 (zerowy) \(f(t)=\frac{L(0)}{M(0)}+\sum_{k=1}^m \frac{L\left(s_k\right)}{s_k M^{\prime}\left(s_k\right)} \mathrm{e}^{S_k t}\)
\(3\) \(F(s)=\frac{L(s)}{M(s)}\) pierwiastek mianownika jest podwójny (dwukrotny) \(f(t)=\operatorname{res}_{s=s_k}\left[\frac{L(s)}{M(s)}\right]=\lim _{s \rightarrow s_k} \frac{d}{d s}\left[\frac{L(s)}{M(s)}\left(s-s_k\right)^2 \mathrm{e}^{s t}\right]\)
\(4 \) \(F(s)=\frac{L(s)}{M(s)} \) pierwiastki mianownika są zespolone sprzężone \(f(t)=2 \operatorname{Re}\left[\frac{L\left(s_k\right)}{M^{\prime}\left(s_k\right)} \mathrm{e}^{S_k t}\right]\)
\(5 \) \( F(s)=\frac{L(s)}{s M(s)} \) pierwiastki mianownika są zespolone sprzężone i jeden s=0 \(f(t)=\frac{L(0)}{M(0)}+2 \operatorname{Re}\left[\frac{L\left(s_k\right)}{s_k M^{\prime}\left(s_k\right)} \mathrm{e}^{S_k t}\right]\)

Przykład 1

Treść

Korzystając z metody operatorowej wyznacz napięcie \(u_c(t)\)

Dane: \(E_1=300 V, E_2=100 V, R_1=15 \Omega, R_2=25 \Omega, R_3=30 \Omega, C=50 mF=50 \cdot 10^{-3} F, L=2 H\)

Rozwiązanie

Rozwiązanie dla stanu przed przełączeniem (w celu wyznaczenia warunków brzegowych):

\[ \begin{aligned} &I=\frac{E_1+E_2}{R_1+R_2}=10\\ &i_{L 0}=I=10\\ & E-I \cdot R_1-u_{C 0}=0 \\ & u_{C 0}=E_1-I \cdot R_1=150 \end{aligned} \]

Zamieniamy elementy na opis operatorowy, obliczamy korzystając z metody potencjałów węzłowych:

\begin{aligned} & V \cdot\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{\frac{1}{s \cdot C}}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_2+s \cdot L}\right)=\frac{\frac{E_1}{s}}{R_1}+\frac{\frac{u_{C 0}}{s}}{\frac{1}{s \cdot C}}-\frac{\frac{E_2}{s}+L \cdot i_{L 0}}{R_2+s \cdot L} \\ & V \cdot\left(\frac{s+2}{20}+\frac{1}{2 \cdot s+25}\right)=\frac{20 \cdot s+400}{s \cdot(2 \cdot s+25)}+\frac{15}{2} \\ & V=\frac{300 \cdot s^2+4150 \cdot s+8000}{s \cdot\left(2 \cdot s^2+29 \cdot s+70\right)} \end{aligned}

Jak łatwo zauważyć \(u_C(s)=V\), więc pozostaje obliczyć transformatę odwrotną:

\begin{aligned} & L(s)=300 \cdot s^2+4150 \cdot s+8000 \\ & M(s)=2 \cdot s^2+29 \cdot s+70 \\ & a=2 \\ & b=29 \\ & c=70 \\ & \Delta=b^2-4 \cdot a \cdot c=281 \\ & s_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}=-3.059 \\ & s_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}=-11.441 \end{aligned}

Jak widać jest to wariant 2 z tabeli:

\begin{aligned} & F(s)=\frac{L(s)}{s M(s)}\\ & \text{pierwiastki mianownika rzeczywiste i jeden } s=0 \text{(zerowy)} \\ & f(t)=\frac{L(0)}{M(0)}+\sum_{k=1}^m \frac{L\left(s_k\right)}{s_k M^{\prime}\left(s_k\right)} \mathrm{e}^{S_k t} \\ \end{aligned}

Pozostaje obliczyć:

\begin{aligned} &M^{\prime}(s)=4 s+29\\ & \frac{L(0)}{M(0)}=114.286 \\ & \frac{L\left(s_1\right)}{s_1 \cdot M^{\prime}\left(s_1\right)} e^{s_1 \cdot t}=36.819 \cdot e^{-3.0592 \cdot t} \\ & \frac{L\left(s_2\right)}{s_2 \cdot M^{\prime}\left(s_2\right)} e^{s_2 \cdot t}=-1.1046 \cdot e^{-11.441 \cdot t}\\ &u_C(t)=114.286+36.819 \cdot e^{-3.0592 \cdot t}-1.1046 \cdot e^{-11.441 \cdot t}\\ &u_C(0)=150\\ \end{aligned}