Voir l'introduction théorique à la méthode de Maxwell-Mohr! Cela comprend également des orientations vers plus d'exercices et de matériel sur ce sujet!
En savoir plus sur l'intégration selon la méthode de Wereszczagin.

Résolution de l'exercice:

Numérotez les barres et indiquez les réactions d'appui pour calculer leurs valeurs. L'angle alpha est entre la barre 2 et la barre 3.

Nous cherchons à calculer les valeurs des forces normales dans toutes les barres de la treillis à partir de la charge externe.

\begin{array}{lll} \sum{X}=0 & H_A=-10\ kN \\ \sum{M_A}=0 & 10\cdot4+10\cdot7-4V_B=0 &\ V_B=27,5\ kN \\ \sum{M_B}=0 & V_A\cdot4+10\cdot4-20\cdot4+10\cdot3=0 &\ V_A=2,5\ kN \\ \sum{Y}=0 & V_A+V_B-20-10=0 &\ L=P \\ \end{array}

Calculons les forces dans toutes les barres en utilisant n'importe quelle méthode, dans cet exemple nous avons utilisé la méthode d'équilibre des nœuds.

\begin{aligned} &\sum{X}=0 & N_2+10=0 \\ &\sum{Y}=0 &-20- N_1=0 \\ &N_1=-20\ kN \\ &N_2=-10\ kN \\ \end{aligned}

\begin{aligned} &\sum{Y}=0 & N_1+2,5+N_3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \\ &\sum{X}=0 &-10+N_4 +N_3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \\ &N_3=\frac{35\sqrt{2}}{2}\ kN \\ &N_4=7,5\ kN \\ \end{aligned}

\begin{array}{lll} &\sum{X}=0 & N_6=N_4=7,5\ kN \\ &\sum{Y}=0 &N_5=-27,5 \ kN\\ \end{array}

\begin{aligned} &\sum{Y}=0 & N_7\cdot0,8-10=0 \\ &\sum{X}=0 &-N_6-N_7\cdot0,6=0 \\ &N_7=12,5\ kN \\ &L=P \\ \end{aligned}

Pour calculer le déplacement, nous appliquons une force généralisée correspondant à ce déplacement. Nous recalculons ensuite les réactions d'appui et les forces dans toutes les barres à partir de la charge virtuelle.

\begin{aligned} \sum{M_A}=0 & -4V_B+7=0 &\ V_B=\frac{7}{4}\ kN \\ \sum{M_B}=0 & V_A\cdot4+3=0 &\ V_A=-\frac{3}{4}\ kN \\ \end{aligned}

\begin{aligned} &\sum{Y}=0 & -\frac{3}{4}+N_3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \\ &\sum{X}=0 &N_4 +N_3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \\ &N_3=\frac{3\sqrt{2}}{4}\ kN \\ &N_4=-\frac{3}{4}\ kN \\ \end{aligned}

\begin{array}{lll} &\sum{X}=0 &N_6=N_4=-\frac{3}{4}\ kN \\ &\sum{Y}=0 &N_5=-\frac{7}{4} \ kN\\ \end{array}

\begin{array}{ll} \sum{Y}=0 &N_7\cdot0,8-1=0 \\ &N_7=\frac{5}{4} \ kN \end{array}

Pour faciliter les calculs, il est pratique de faire un tableau, surtout dans une feuille de calcul. Le déplacement recherché est le graphe intégré des forces normales de la charge externe et virtuelle, et comme ces graphes sont rectangulaires, cela revient à multiplier dans chaque ligne la force dans l'état P par l'unité et la longueur de la barre (intégration de deux rectangles entre eux), puis à sommer les résultats. La somme obtenue divisée par la rigidité en traction EA est le déplacement recherché.

\begin{aligned} &E=205GPa\\ &A=30 cm^2\\ &EA=615\cdot10^6\\ \end{aligned} \begin{aligned} \Delta Y_{C}=\sum\frac{N_P\cdot N_1\cdot l_i}{EA}=\frac{379,7424\cdot10^3}{615\cdot10^6}=0,6174mm\\ \end{aligned}