Edupanda » Wytrzymałość materiałów » Metoda Maxwella-Mohra - liczenie przemieszczeń w konstrukcjach
Metoda Maxwella-Mohra
Liczenie przemieszczeń w konstrukcjach
-> w ramach naszego abonamentu na dostęp
do wszystkich treści na naszej stronie <-
Zobacz 7 bardziej skomplikowanych
przykładów z tego działu
Z tego tekstu dowiesz się czym jest i na czym polega Metoda Maxwella-Mohra. Zobaczysz jaki jest algorytm rozwiązywania zadań tą metodą. Znajdziesz przykłady rozwiązania
Metoda Maxwella-Mohra - podejście uproszczone (uwzględnienie tylko wpływu momentu gnącego)
Zgodnie z metodą Maxwella-Mohra wyznaczenie przemieszczenia u, sprowadza się do obliczenia całki, pod znakiem której występuje moment gnący spowodowany rzeczywistym obciążeniem zewnętrznym (Mg), oraz moment gnący jaki wywołałaby jednostkowa siła fikcyjna P=1 odpowiadająca szukanemu przemieszczeniu (\(M_1\)).\begin{aligned} u=\int_{0}^{l} \frac{M_{g} \cdot M_{1}}{E I} d x \end{aligned} W poniższych zadaniach pomijamy wpływ sił tnących (poza jednym wyjątkiem) i normalnych (znikomy), jak również temperatury, obciążenia osiadaniem podpór oraz podpór sprężystych.
Całkowanie można przeprowadzić analitycznie lub graficznie
zobacz - metoda Wereszczagina
Przykład 1
Treść
Uwzględnij wpływ momentów zginających i sił tnących.
Rozwiązanie
Rozbijamy belkę przegubową na belki proste, liczymy reakcje bierne i rysujemy wykresy sił wewnętrznych. Uwaga – reakcje można policzyć bez rozbijania na belki proste. Liczenie ekstremum nie jest potrzebne do policzenia przemieszczenia.
\begin{array}{cl}
\mathbb{I} & \\
\sum M_{B}=0 & 10+2 V_{C}=0 \\
& V_{C}=-5 \mathrm{kN} \\
\sum Y=0 & V_{B}+V_{C}=0 \\
& V_{B}=5 \mathrm{kN}
\end{array}
\begin{aligned}
\frac{29}{x}=\frac{29+5}{4}=>x=\frac{29 \cdot 4}{29+5}=\frac{58}{17} \approx 3,412
\end{aligned}
\begin{array}{ll}
\sum M_{A}=0 & -M_{A}-6 \cdot 4 \cdot 2-4 V_{B}=0 \\
& M_{A}=-68 \mathrm{kNm} \\
\sum Y=0 & V_{A}-6 \cdot 4-V_{B}=0 \\
& V_{A}=29 \mathrm{kN}
\end{array}
\begin{array}{cl}
\mathbb{I} & \\
\sum M_{B}=0 & -1 \cdot 4+2 V_{C}=0 \\
& V_{C}=2 \mathrm{kN} \\
\sum Y=0 & V_{B}+V_{C}-1=0 \\
& V_{B}=-1 \mathrm{kN}
\end{array}
\begin{array}{ll}
\text { II } & \\
\sum M_{A}=0 & -M_{A}-4 V_{B}=0 \\
& M_{A}=4 k N m \\
\sum Y=0 & V_{A}-V_{B}=0 \\
& V_{A}=1 k N
\end{array}
Liczymy przemieszczenie uwzględniając wpływ momentu gnącego (dominujący) i siły tnącej. Jeżeli nie mamy danych liczbowych to zostawiamy wynik w takiej postaci jak poniżej.\begin{aligned} \Delta_{D}=& \int \frac{M_{P} M_{1}}{E I} d x+\kappa \int \frac{Q_{P} Q_{1}}{G A}=\\ =& \frac{1}{E I}\left[-\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 68 \cdot 4+\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{6 \cdot 4^{2}}{8}-\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10-\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10\right]+\\ &+\frac{\kappa}{G A}\left[-\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 29 \cdot 1+\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 5 \cdot 1+2 \cdot 1 \cdot 5\right]=\\ =&-332 \frac{1}{E I}-\frac{124}{3} \frac{\kappa}{G A} \end{aligned}
Przykład 1 - wideo kurs
Rozwiązanie zadania metodą całkowania analitycznego oraz graficznego (Wereszczagina)
↓ odnośnik do bazy zadań z rozwiązaniami ↓
Przykład 2 - wideo kurs
Rozwiązanie zadania metodą całkowania graficznego (Wereszczagina)
Wzór Maxwella-Mohra
Teraz zobaczmy w takim razie pełną postać wzoru Maxwella-Mohra, który już będzie uwzględniał wszystkie możliwe oddziaływania na konstrukcję.
w belkach przegubowych
Zobacz 9 przykładów
w RAMACH
Zobacz 2 przykłady
w KRATOWNICY
Wzór Maxwella-Mohra
\[ \begin{gathered} \Delta_i=\sum_{i_{el}=1}^{n_{el} }\left\{\int_s \frac{\bar{M}_i M_P}{E J} d s+\int_s \frac{\kappa \overline{Q_i} Q_P}{G A} d s+\int_s \frac{\bar{N}_i N_P}{E A} d s\right\}+ \\ +\sum_{i_{el} =1}^{n_{el} }\left\{\frac{\alpha \Delta T}{h} \int_s \bar{M}_i d s+\alpha T_0 \int_s \bar{N}_i d s\right\}+ \\ +\sum_n R_n^P \bar{R}_n f_n-\sum_k \bar{R}_k \Delta_k \end{gathered} \] \(\Delta_i\) - niewiadome przemieszczenie punktu \(i\)
Wzór Maxwella-Mohra z opisanymi oddziaływaniami
Wpływ sił wewnętrznych
\[ \sum_{i_{el} =1}^{n_{el} }\left\{\int_s \frac{\bar{M}_i M_P}{E J} d s+\int_s \frac{\kappa \bar{Q}_i Q_P}{G A} d s+\int_s \frac{\bar{N}_i N_P}{E A} d s\right\} \] gdzie:\( 1) \sum{\int_s \frac{\bar{M}_i M_P}{E J} d s} \) - przecałkowanie wykresu/funkcji momentów zginających na wszystkich przedziałach ze stanu początkowego \( M_P \) z wykresem/funkcją momentów zginających w stanie jednostkowym \( \overline{M_1} \)
*) stan początkowy - obciążenia mechaniczne przyłożone w treści zadania typu siły skupione, momenty skupione, obciążenia ciągłe
*) stan jednostkowy - obciążenie zadanego układu wyłącznie siłą jednostkową w miejscu i na kierunku szukanego przemieszczenia
E - moduł Younga
I - moment bezwładności przekroju względem osi zginanej (w zginaniu prostym - oś pozioma)
\( 2) \sum{\int_s \frac{\kappa \bar{Q}_i Q_P}{G A} d s} \) - przecałkowanie wykresu/funkcji sił tnących na wszystkich przedziałach ze stanu początkowego \( T_P \) z wykresem/funkcją sił tnących w stanie jednostkowym \( \overline{T_1} \)
\( \kappa \) - współczynnik ścinania,
Prostokąt \(\kappa=1.2\)
Dwuteownik \(\quad \kappa=\frac{A}{A_{\text {srodnika }}}=\frac{A}{g(h-2 t)}\)
\( GA \) - sztywność na ścinanie, gdzie:
G - moduł Kirchoffa
A - pole przekroju poprzecznego
\( 3) \sum{\int_s \frac{\bar{N}_i N_P}{E A} d s } \) - przecałkowanie wykresu/funkcji sił normalnych na wszystkich przedziałach ze stanu początkowego \( N_P \) z wykresem/funkcją sił tnących w stanie jednostkowym \( \overline{N_1} \)
\( EA \) - sztywność na rozciąganie, gdzie:
E - moduł Younga
A - pole przekroju poprzecznego
Wpływ temperatury
Temperatura nierównomierna
\[ \sum_{i_{el}=1}^{n_{el} }\left\{\frac{\alpha \cdot \Delta T}{h} \int_s \bar{M}_i d s\right\} \] gdzie:
\(\alpha \) - współczynnik rozszerzalności termicznej - stała materiałowa zależna od przyjętego materiału, jej wartość jest względną zmianą rozmiarów ciała przy zmianie temperatury o 1 [K];
\( \Delta T \) - różnica temperatury między jedną a drugą stroną pręta \( \Delta T = |t_g - t_d| \);
\( t_g \) - temperatura góry pręta;
\( t_d \) - temperatura dołu pręta (przy czym nie ma znaczenia gdzie przyjmiemy górę, a gdzie dół);
\( h \) - wysokość przekroju;
\( \int_s \bar{M}_i d s \) - pole na wykresie momentów w stanie jednostkowym na pręcie/prętach obciążonych temperaturą \( \Delta T \), jeśli różne pręty są obciążone różnymi temperaturami, wówczas współczynnik
\( \Delta T \) przemnażamy osobno przez pole na odpowiednim pręcie;
Znak pola bierzemy jako dodatni, jeżeli wykres momentów jest po stronie włókien cieplejszych
Temperatura równomierna
\[ \sum_{i_{el}=1}^{n_{el} }\left\{\alpha T_0 \int_s \bar{N}_i d s\right\} \] gdzie:
\(\Delta T_0 \) - temperatura średnia minus temperatura montażu \(\Delta T_0=\frac{t_g+t_d}{2} - t_m \);
\( \int_s \bar{N}_i d s \) - pole na wykresie sił normalnych w stanie jednostkowym na pręcie/prętach obciążonych temperaturą \( \Delta T_0 \), jeśli różne pręty są obciążone różnymi temperaturami, wówczas współczynnik \(\Delta T_0 \) przemnażamy osobno przez pole sił normalnych na odpowiednim pręcie;
Znak pola bierzemy z wykresu - wykres sił normalnych jest znakowany
Wpływ podpór sprężystych
\[ \sum_n R_n^P \bar{R}_n f_n \] gdzie:
\(R_n^P \) - reakcja w stanie P w miejscu i na kierunku więzi sprężystej
\( \bar{R}_n \) - reakcja w stanie jednostkowym w miejscu i na kierunku więzi sprężystej
\( f_n \) - podatność więzi sprężystej, jeśli liniowa to w \( \left[ \frac{m}{N} \right] \), jeśli obrotowa to w \( \left[ \frac{rad}{N\cdot m} \right] \)
Wpływ osiadania podpór
gdzie:
\(\overline{R_k} \) - reakcja w stanie jednostkowym w miejscu i na kierunku wymuszonego przemieszczenia
\( \Delta_k \) - wartość wymuszonego przemieszczenia
w belkach przegubowych
Zobacz 9 przykładów
w RAMACH
Zobacz 2 przykłady
w KRATOWNICY
Zobacz ofertę i cenę korepetycji
|
Łukasz CichowiczTel: +48 780 155 029E-mail: lukasz@edupanda.pl Skype: edupandapl |
