Edupanda » Wytrzymałość materiałów » Twierdzenie Castigliano - liczenie ugięć i kątów obrotu w belkach
Twierdzenie Castigliano
Liczenie ugięć i kątów obrotu w belkach
-> w ramach naszego abonamentu na dostęp
do wszystkich treści na naszej stronie <-
Z tego tekstu dowiesz się czym jest i na czym polega Twierdzenie Castigliano. Zobaczysz jaki jest algorytm rozwiązywania zadań tą metodą. Znajdziesz przykłady rozwiązania
Metoda Castigliano
Wartość energii sprężystej nagromadzonej w pręcie zginanym (wpływ samego momentu zginającego).
\[
U^M=\int_{0}^{l}{\frac{M_g^2}{2EI}}dx
\]
W przypadku skokowej zmiany przekroju pręta lub układu złożonego z kilku prętów – energię sprężystą wyznaczamy jako sumę energii nagromadzonej na długości \(l_i\) pręta
\[
U^M=\sum \int_{0}^{l_i}{\frac{M_g^2}{2EI}}dx
\]
A po zróżniczkowaniu otrzymamy:
\[
\delta_i=\sum \frac{1}{EI} \int_{0}^{l_i} (M_g \cdot \frac{\partial M_g}{\partial P_i}) dx
\]
Powyższy wzór ma charakter ogólny.
- W przypadku wyznaczania ugięcia, różniczkujemy moment gnący względem siły działającej w miejscu i na kierunku szukanego przemieszczenia.
- Gdy wyznaczamy kąt obrotu, różniczkujemy moment gnący względem momentu przyłożonego jak opisano wyżej.
Przykład 1
Treść
Oblicz ugięcie i kąt obrotu w miejscu przyłożenia siły skupionej. Obciążenie na belce jest w [kN].
Rozwiązanie
Najpierw obliczymy ugięcie w punkcie B.
W przypadku wyznaczania ugięcia różniczkujemy funkcję momentu gnącego względem siły działającej w miejscu i na kierunku szukanego przemieszczenia.Aby móc różniczkować względem siły, musimy jej nadać jakieś oznaczenie, przyjmijmy P=30 [kN].
Obliczamy reakcje podporowe
\[
\begin{align}
& \sum{Y}=0\\
& R_{CY}=P^*\\
& \sum{M_C}=0\\
& M_{A}-P^*\cdot 2=0\\
& M_{A}=2P^*
\end{align}
\]
Funkcje momentu przedział A-B => x∈<0;2)m i przedział B-C => x∈<3;5)m
\[
\begin{aligned}
&M_{g1}^{AB}=M_A=2P^*\\
&M_{g2}^{BC}=2P^*-P^*\cdot (x-3)\\
\end{aligned}
\]
Rozwiązanie druga część - obliczenie kąta obrotu
Zauważamy, że NIE MA w punkcie B siły odpowiadającej szukanemu przemieszczeniu (szukanemu kątowi obrotu odpowiada moment skupiony).
Jeśli w zadaniu nie jest przyłożony moment skupiony tam, gdzie mamy obliczyć kąt obrotu, to należy dołożyć fikcyjny moment \(M^*=0\), policzyć reakcje z uwzględnieniem tego momentu, wykonać różniczkowanie po \(M^*\), a na ostatnim etapie podstawić \(M^*=0\).
↓ odnośnik do bazy zadań z rozwiązaniami ↓
-> w ramach naszego abonamentu na dostęp
do wszystkich treści na naszej stronie <-