Twierdzenie Castigliano

Rozwiązanie

Najpierw obliczymy ugięcie w punkcie B.

W przypadku wyznaczania ugięcia różniczkujemy funkcję momentu gnącego względem siły działającej w miejscu i na kierunku szukanego przemieszczenia.
Aby móc różniczkować względem siły, musimy jej nadać jakieś oznaczenie, przyjmijmy P=30 [kN].

W takim razie (to bardzo ważne) - w zadaniu JEST już siła działająca w miejscu i na kierunku szukanego przemieszczenia (siła 30 kN to skupiona siła pionowa - odpowiada ona szukanemu pionowemu przemieszczeniu).

Nie musimy zatem nic dodatkowo robić, liczymy zadanie tak jak jest dane.
Jeśli będziemy szukali kąta obrotu w punkcie B, to wtedy zauważamy, że NIE MA w punkcie B siły odpowiadającej szukanemu przemieszczeniu (szukanemu kątowi obrotu odpowiada moment skupiony).

Jeśli w zadaniu nie jest przyłożony moment skupiony tam gdzie mamy obliczyć kąt obrotu, to należy dołożyć fikcyjny moment \(M^*=0\), policzyć reakcje z uwzględnieniem tego momentu itd. Zobaczysz w drugiej części tego zadania.

Obliczamy reakcje podporowe

\begin{align} & \sum{Y}=0\\ & R_{CY}=P^*\\ & \sum{M_C}=0\\ & M_{A}-P^*\cdot 2=0\\ & M_{A}=2P^* \\ \end{align} Zapisujemy funkcję momentu w przedziale AB oraz BC od lewej strony.

Funkcję można też zapisać z prawej strony, można jeden przedział z lewej A-B, a drugi od prawej C-B.
Zachęcamy do sprawdzenia dla treningu różnych wariantów, obliczenia szukanego przemieszczenia i porównania wyników.

Funkcje momentu przedział A-B => x∈<0;2)m i przedział B-C => x∈<3;5)m
\begin{aligned} &M_{g1}^{AB}=M_A=2P^*\\ &M_{g2}^{BC}=2P^*-P^*\cdot (x-3)\\ \end{aligned} Pochodne z funkcji momentu po \(P^*\) w każdym przedziale tj. \(\frac{\partial M g_i(x)}{\partial P^*}\)
\begin{aligned} &\frac{\partial M_{g1}}{\partial P^*}=2 \\ &\frac{\partial M_{g2}}{\partial P^*}=2-(x-3)=5-x \\ \end{aligned} Obliczamy ugięcie w punkcie B.
Zgodnie z ostatnim wzorem we wstępie:
\begin{aligned} \delta_i=\sum \frac{1}{EI} \int_{0}^{l_i} (M_{gi} \cdot \frac{\partial M_{gi}}{\partial P^*} )dx \end{aligned}
gdzie:
\(\delta_i\) - to szukane przemieszczenie w punkcie B \(\Rightarrow \Delta_{y_B}\)

A więc ostatecznie:
\begin{align} & \Delta_{y_B}=\frac{1}{EI}\left[ \int_{0}^{3} (M_{g1} \cdot \frac{\partial M_{g1}}{\partial P^*} )dx + \int_{3}^{5} (M_{g2} \cdot \frac{\partial M_{g2}}{\partial P^*} )dx \right] \\ & \Delta_{y_B}=\frac{1}{EI}\left[ \int_{0}^{3} (2\cdot P^* \cdot 2 )dx + \int_{3}^{5} (2P^*-P^*\cdot (x-3)) \cdot (5-x)dx \right] \\ \end{align} W zadaniach z metody Castigliano zawsze na tym etapie przypominamy sobie, jaka jest wartość siły po której robiliśmy różniczkowanie. W tym przypadku \(P^*=30\ [kN]\) i taką wartość podstawiam. \(\begin{aligned} & \Delta_{\mathrm{yB}}=\frac{1}{\mathrm{EI}}\left[\int_0^3 2 \cdot 30 \cdot 2 \mathrm{dx}+\int_3^5[2 \cdot 30-30 \cdot(\mathrm{x}-3)](5-\mathrm{x}) \mathrm{dx}\right] \\ & \Delta_{\mathrm{yB}}=\frac{1}{\mathrm{EI}}\left[\int_0^3 120 \mathrm{dx}+\int_3^5\left(30 \cdot \mathrm{x}^2-300 \cdot \mathrm{x}+750\right) \mathrm{dx}\right] \\ & \Delta_{\mathrm{yB}}=\frac{1}{\mathrm{EI}}\left[120 \cdot 3+30 \cdot \frac{\left(5^3-3^3\right)}{3}-300 \cdot \frac{\left(5^2-3^2\right)}{2}+750(5-3)\right]=\frac{440}{\mathrm{EI}} \end{aligned}\)

Rozwiązanie druga część - obliczenie kąta obrotu

Zauważamy, że NIE MA w punkcie B siły odpowiadającej szukanemu przemieszczeniu (szukanemu kątowi obrotu odpowiada moment skupiony).

Jeśli w zadaniu nie jest przyłożony moment skupiony tam gdzie mamy obliczyć kąt obrotu, to należy dołożyć fikcyjny moment \(M^*=0\), policzyć reakcje z uwzględnieniem tego momentu, wykonać różniczkowanie po \(M^* \) . Na ostatnim etapie podstawić \(M^*=0\).

Obliczamy nowe reakcje podporowe

\begin{align} & \sum{Y}=0\\ & R_{CY}=30\\ & \sum{M_C}=0\\ & M_{A}-30\cdot 2+M^*=0\\ & M_{A}=60-M^* \\ \end{align} Funkcje momentu przedział A-B od lewej strony => x∈<0;3)m i przedział C-B od prawej strony => x∈<0;2)m
\begin{aligned} &M_{g1}^{AB}=M_A=60-M^*\\ &M_{g2}^{CB}=R_{Cy}\cdot x=30\cdot x\\ \end{aligned} Pochodne z funkcji momentu po \(M^*\) w każdym przedziale tj. \(\frac{\partial M g_i(x)}{\partial M^*}\)
\begin{aligned} &\frac{\partial M_{g1}}{\partial M^*}=-1 \\ &\frac{\partial M_{g2}}{\partial M^*}=0 \\ \end{aligned} Obliczamy kąt obrotu w punkcie B.
\begin{align} & \varphi_{B}=\frac{1}{EI}\left[ \int_{0}^{3} (M_{g1} \cdot \frac{\partial M_{g1}}{\partial M^*} )dx + \int_{0}^{2} (M_{g2} \cdot \frac{\partial M_{g2}}{\partial M^*} )dx \right] \\ & \varphi_{B}=\frac{1}{EI}\left[ \int_{0}^{3} (60-M^*) \cdot (-1) )dx + \int_{0}^{2} (30\cdot x \cdot 0)dx \right] \\ \end{align} W zadaniach z metody Castigliano zawsze na tym etapie przypominamy sobie, jaka jest wartość siły po której robiliśmy różniczkowanie. W tym przypadku \(M^*=0 \) i taką wartość podstawiam. \(\begin{aligned} & \varphi_{B}=\frac{1}{EI}\left[ \int_{0}^{3} (60-0) \cdot (-1) )dx + \int_{0}^{2} (0)dx \right] \\ & \varphi_{B}=\frac{1}{EI}\left[ \int_{0}^{3} (-60) dx \right] = \frac{1}{EI}\left[ -60\cdot 3 \right] =\frac{-180}{EI} \\ \end{aligned}\)