Solution
Le degré de non-déterminabilité statique
$$
\mathrm{SSN}=\mathrm{r}-3-\mathrm{p}+3 \cdot \mathrm{a}
$$
où:
r - réactions
p - articulations
a - circuits fermés
\( \mathrm{SSN}=3-3-2+3 \cdot 1=1 \)
Le nombre de degrés de liberté dynamique
\( \mathrm{LSSD}=3 \\ \quad \mathrm{~m}_1=100 \ \mathrm{kg} \\ \quad \mathrm{m}_2=100\ \mathrm{kg} \\ \quad \mathrm{m}_3=250\ \mathrm{kg} \\ \)
en supposant que
\( \mathrm{m}=100\ \mathrm{kg} \)
\( m_1=m, \\ m_2=m, \\ m_3=2.5m \)
Nous résoudrons le cadre par la MÉTHODE DES FORCES.
Configuration de base de la méthode des forces
État unitaire commun
Réactions
$$ \begin{aligned} &\Sigma \mathrm{M}_{\mathrm{A}}=0 \quad 1 \cdot 2-1 \cdot 2-\mathrm{V}_{\mathrm{B}} \cdot 5=0 \quad \mathrm{~V}_{\mathrm{B}}=0 \\ &\delta_{11}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} 2 \cdot 2 \cdot 2+2 \cdot 5 \cdot 2+\frac{1}{3} 2 \cdot 2 \cdot 2\right)=\frac{76}{3} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned} $$ Maintenant nous effectuons séparément l'état P pour tous les cas de charge, calculons l'intégrale δ1p pour chaque cas, calculons x1 (résolvons l'équation canonique) et traçons les graphiques finaux.
Deltas dynamiques du théorème réduite $$ \begin{aligned} &\delta_{11}=\int \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{Ost} 1} \cdot \mathrm{M}_{\mathrm{P} 1}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{11}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left[\frac{5}{6} \cdot\left(2 \cdot 1 \cdot \frac{23}{38}-1 \cdot \frac{15}{38}\right)+\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\right]=\frac{77}{76} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &\delta_{22}=\int \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{ost} 2} \cdot \mathrm{M}_{\mathrm{P} 2}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{22}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left[\frac{3}{6} \cdot\left(2 \cdot 1.2 \cdot \frac{69}{95}-1.2 \cdot \frac{9}{19}\right)+\frac{2}{6} \cdot\left(2 \cdot 1.2 \cdot \frac{69}{95}-1.2 \cdot \frac{9}{19}\right)\right]=\frac{93}{95} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &\delta_{33}=\int \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{ost} 3} \cdot \mathrm{M}_{\mathrm{P} 3}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{33}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left[\begin{array}{l} \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2+\frac{2}{6} \cdot\left(2 \cdot 2 \cdot 2+2 \cdot \frac{36}{19} \cdot 4+\frac{36}{19} \cdot 2+4 \cdot 2\right) \ldots \\ +\frac{5}{6} \cdot\left(2 \cdot 4 \cdot \frac{36}{19}-4 \cdot \frac{40}{19}\right) \end{array}\right]=\frac{1136}{57} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &\delta_{12}=\int \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{ost} 1} \cdot \mathrm{M}_{\mathrm{P} 2}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{12}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left[\frac{3}{6} \cdot\left(-2 \cdot 1.2 \cdot \frac{39}{190}+1.2 \cdot \frac{15}{38}\right)-\frac{2}{6} \cdot\left(2 \cdot 1.2 \cdot \frac{39}{190}+1.2 \cdot \frac{23}{38}\right)\right]=-\frac{79}{190} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \quad \delta_{21}=\delta_{12} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &\delta_{13}=\int \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{ost} 3} \cdot \mathrm{M}_{\mathrm{P} 1}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{13}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left[\frac{5}{6} \cdot\left(2 \cdot 1 \cdot \frac{40}{19}-1 \cdot \frac{36}{19}\right)\right]=\frac{110}{57} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \quad \delta_{31}=\delta_{13} \\ &\delta_{23}=\int \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{Ost} 3} \cdot \mathrm{M}_{\mathrm{P} 2}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{23}=\frac{1}{\mathrm{EI}}\left[\frac{3}{6} \cdot\left(-2 \cdot 1.2 \cdot \frac{48}{95}+1 \cdot 2 \cdot \frac{36}{19}\right)-\frac{2}{6} \cdot\left(2 \cdot 1.2 \cdot \frac{48}{95}+1.2 \cdot \frac{40}{19}\right)\right]=-\frac{68}{95} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \quad \delta_{32}=\delta_{23} \end{aligned} $$ Je pose \( \mathrm{m}=100 \mathrm{~kg} \quad \mathrm{~m}_1=1 \mathrm{~m} \quad \mathrm{~m}_2=1 \mathrm{~m} \quad \mathrm{~m}_3=2.5 \mathrm{~m} \)
\( \left[\begin{array}{ccc} 1 \cdot \frac{77}{76}-x & 1 \cdot\left(-\frac{79}{190}\right) & \frac{5}{2} \cdot \frac{110}{57} \\ 1 \cdot\left(-\frac{79}{190}\right) & 1 \cdot \frac{93}{95}-x & \frac{5}{2}\left(\frac{68}{95}\right) \\ 1 \cdot \frac{110}{57} & 1 \cdot\left(\frac{68}{95}\right) & \frac{5}{2} \cdot \frac{1136}{57}-x \end{array}\right]=0 \)
\( \left[\begin{array}{llc} \frac{77}{76}-\mathrm{x} & -\frac{79}{190} & \frac{275}{57} \\ -\frac{79}{190} & \frac{93}{95}-\mathrm{x} & -\frac{34}{19} \\ \frac{110}{57} & -\frac{68}{95} & \frac{2840}{57}-\mathrm{x} \end{array}\right]=0 \)
Ensuite, nous devons utiliser la méthode de Sarrus pour calculer le déterminant de la matrice 3x3 ci-dessus et le simplifier en une forme polynomiale de degré 3 (comme indiqué ci-dessous). Il est préférable d'avoir un programme qui peut le simplifier pour nous, comme Mathcad par exemple.
\( -1 \cdot x^3+51.8167 \cdot x^2-89.4833 \cdot x+33.2632=0 \)
Racines de l'équation $$ \mathrm{x}_1=0.537 \quad \mathrm{x}_2=1.238 \quad \mathrm{x}_3=50.042 $$ parce que \( \mathrm{x}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}} \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} \)
Fréquences propres de vibration
$$ \begin{aligned} &\omega_1=\frac{1}{\sqrt{x_3}}=0.14136 \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} \\ &\omega_2=\frac{1}{\sqrt{x_2}}=0.899 \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} \\ &\omega_3=\frac{1}{\sqrt{x_1}}=1.3647 \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} \end{aligned} $$ Rigidité à la flexion $$ \begin{aligned} &\text{Pour } \quad I=2140 \cdot 10^{-8} \mathrm{~m}^4 \quad \text{et module d'Young pour l'acier } \quad E=200 \cdot 10^9 \mathrm{~Pa} \\ &\mathrm{EI}=\mathrm{E} \cdot \mathrm{I}=4280000.000 \mathrm{Nm}^2 \quad \mathrm{~m}=100 \quad \mathrm{~kg} \\ &\omega_{1}=0.14136 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}=29.245 \quad \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} \\ &\omega_{2}=0.899 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}=185.939 \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} \\ &\omega_{3}=1.365 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}=282.33 \quad \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} \end{aligned} $$
Détermination de la forme des vibrations $$ \begin{aligned} &\left(\mathrm{m}_1 \cdot \delta_{11}-\mathrm{x}\right) \cdot \mathrm{A}_{11}+\mathrm{m}_2 \cdot \delta_{12} \cdot \mathrm{A}_{21}+\mathrm{m}_3 \cdot \delta_{13} \cdot \mathrm{A}_{31}=0 \\ &\mathrm{~m}_1 \cdot \delta_{12} \cdot \mathrm{A}_{11}+\left(\mathrm{m}_2 \cdot \delta_{22}-\mathrm{x}\right) \cdot \mathrm{A}_{21}+\mathrm{m}_3 \cdot \delta_{23} \cdot \mathrm{A}_{31}=0 \\ &\mathrm{~m}_1 \cdot \delta_{31} \cdot \mathrm{A}_{11}+\mathrm{m}_2 \cdot \delta_{32} \cdot \mathrm{A}_{21}+\left(\mathrm{m}_3 \cdot \delta_{33}-\mathrm{x}\right) \cdot \mathrm{A}_{31}=0 \end{aligned} $$
Nous résolvons ce système d'équations trois fois, une fois en remplaçant "x" par "x1", une fois par "x2", et une fois par "x3".
Après avoir substitué x, nous avons un système de 3 équations à trois inconnues A11, A21, A31. Ce système a toujours une infinité de solutions,
nous devons donc montrer une solution exemplaire. C'est-à-dire, nous supposons l'une des inconnues avec une valeur égale à 1, et cela nous donne un système de 3 équations à deux inconnues, où après avoir résolu les deux premières équations, nous calculons les deux inconnues restantes.
pour \( \quad \mathrm{x}=\mathrm{x}_1=0.537 \quad \text{j'assume } \quad \mathrm{A}_{11}=1 \)
$$ \begin{aligned} &0.476+0.416 \mathrm{~A}_{21}+4.825 \cdot \mathrm{A}_{31}=0 \\ &-0.416+0.442 \mathrm{~A}_{21}-1.7895 \cdot \mathrm{A}_{31}=0 \\ &1.9298-0.716 \cdot \mathrm{A}_{21}+49.288 \cdot \mathrm{A}_{31}=0 \end{aligned} $$ Je résous le système des deux premières équations
$$ \begin{aligned} &\mathrm{A}_{21}=0.831 \\ &\mathrm{~A}_{31}=-0.027 \end{aligned} $$ Et la forme des vibrations
pour \( \quad \mathrm{x}=\mathrm{x}_2=1.238 \quad \text{j'assume } \quad \mathrm{A}_{12}=1 \)
$$ \begin{aligned} &-0.225-0.416 \cdot \mathrm{A}_{22}+4.825 \cdot \mathrm{A}_{32}=0 \\ &-0.416+0.442 \mathrm{~A}_{22}-1.7895 \cdot \mathrm{A}_{32}=0 \\ &1.9298-0.716 \cdot \mathrm{A}_{22}+49.288 \cdot \mathrm{A}_{32}=0 \end{aligned} $$ Je résous le système des deux premières équations
$$ \begin{aligned} &\mathrm{A}_{22}=0.425 \\ &\mathrm{~A}_{32}=-0.008 \end{aligned} $$ Et la forme des vibrations
pour \( \quad \mathrm{x}=\mathrm{x}_3=50.042 \quad \text{j'assume } \quad \mathrm{A}_{13}=1 \)
$$ \begin{aligned} &-0.525-0.416 \cdot \mathrm{A}_{23}+4.825 \cdot \mathrm{A}_{33}=0 \\ &-0.416+0.442 \mathrm{~A}_{23}-1.7895 \cdot \mathrm{A}_{33}=0 \\ &1.9298-0.716 \cdot \mathrm{A}_{23}+49.288 \cdot \mathrm{A}_{33}=0 \end{aligned} $$ Je résous le système des deux premières équations
$$ \begin{aligned} &\mathrm{A}_{23}=0.429 \\ &\mathrm{~A}_{33}=-0.009 \end{aligned} $$ Et la forme des vibrations
&-0,416-0,259 \cdot \mathrm{A}_{22}-1,7895 \cdot \mathrm{A}_{32}=0 \\ &1,9298-0,716 \cdot \mathrm{A}_{22}+48,587 \cdot \mathrm{A}_{32}=0 \end{aligned} $$ Je résous le système des deux premières équations
$$ \begin{aligned} &\mathrm{A}_{22}=-1,208 \\ &\mathrm{A}_{32}=-0,0575 \end{aligned} $$ Deuxième forme de vibration
pour \( \quad \mathrm{x}=\mathrm{x}_3=50,042 \quad j'assume \quad \mathrm{A}_{13}=1 \)
$$ \begin{gathered} -49,0286-0,416 \cdot \mathrm{A}_{23}+4,825 \cdot \mathrm{A}_{33}=0 \\ -0,416-49,063 \cdot \mathrm{A}_{23}-1,7895 \cdot \mathrm{A}_{33}=0 \\ 1,9298-0,716 \cdot \mathrm{A}_{23}-0,217 \cdot \mathrm{A}_{33}=0 \end{gathered} $$ Je résous le système des deux premières équations
$$ \begin{aligned} &\mathrm{A}_{23}=-0,378 \\ &\mathrm{A}_{33}=10,130 \end{aligned} $$ Troisième forme de vibration
Vérification des conditions d'orthogonalité
\begin{aligned} &m_1 \cdot \mathrm{A}_{11} \cdot \mathrm{A}_{12}+m_2 \cdot \mathrm{A}_{21} \cdot \mathrm{A}_{22}+m_3 \cdot \mathrm{A}_{31} \cdot \mathrm{A}_{32}=0 \\ &~m_1 \cdot \mathrm{A}_{12} \cdot \mathrm{A}_{13}+m_2 \cdot \mathrm{A}_{22} \cdot \mathrm{A}_{23}+m_3 \cdot \mathrm{A}_{32} \cdot \mathrm{A}_{33}=0 \\ &~m_1 \cdot \mathrm{A}_{11} \cdot \mathrm{A}_{13}+m_2 \cdot \mathrm{A}_{21} \cdot \mathrm{A}_{23}+m_3 \cdot \mathrm{A}_{31} \cdot \mathrm{A}_{33}=0 \\ \end{aligned}
\begin{aligned} &1 \cdot 1 \cdot m+1 ~m \cdot 0,831 \cdot(-1,208)+2,5 ~m \cdot(-0,027) \cdot(-0,0575) \rightarrow 0,00003 ~m \sim 0 \\ &1 \cdot 1 \cdot m+1 ~m \cdot 0,831 \cdot(-1,208)+2,5 ~m \cdot(-0,027) \cdot(-0,0575) \rightarrow 0,00003 ~m \sim 0 \\ &1 \cdot 1 \cdot m+1 ~m \cdot 0,831 \cdot(-0,378)+2,5 ~m \cdot(-0,027) \cdot 10,1297 \rightarrow 0,00213 ~m \sim 0 \end{aligned}
la vérification donne un résultat positif
r - réactions
p - articulations
a - circuits fermés
\( \mathrm{SSN}=3-3-2+3 \cdot 1=1 \)
Le nombre de degrés de liberté dynamique
\( \mathrm{LSSD}=3 \\ \quad \mathrm{~m}_1=100 \ \mathrm{kg} \\ \quad \mathrm{m}_2=100\ \mathrm{kg} \\ \quad \mathrm{m}_3=250\ \mathrm{kg} \\ \)
en supposant que
\( \mathrm{m}=100\ \mathrm{kg} \)
\( m_1=m, \\ m_2=m, \\ m_3=2.5m \)
Nous résoudrons le cadre par la MÉTHODE DES FORCES.
Configuration de base de la méthode des forces
État unitaire commun
Réactions
$$ \begin{aligned} &\Sigma \mathrm{M}_{\mathrm{A}}=0 \quad 1 \cdot 2-1 \cdot 2-\mathrm{V}_{\mathrm{B}} \cdot 5=0 \quad \mathrm{~V}_{\mathrm{B}}=0 \\ &\delta_{11}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} 2 \cdot 2 \cdot 2+2 \cdot 5 \cdot 2+\frac{1}{3} 2 \cdot 2 \cdot 2\right)=\frac{76}{3} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned} $$ Maintenant nous effectuons séparément l'état P pour tous les cas de charge, calculons l'intégrale δ1p pour chaque cas, calculons x1 (résolvons l'équation canonique) et traçons les graphiques finaux.
Deltas dynamiques du théorème réduite $$ \begin{aligned} &\delta_{11}=\int \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{Ost} 1} \cdot \mathrm{M}_{\mathrm{P} 1}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{11}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left[\frac{5}{6} \cdot\left(2 \cdot 1 \cdot \frac{23}{38}-1 \cdot \frac{15}{38}\right)+\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\right]=\frac{77}{76} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &\delta_{22}=\int \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{ost} 2} \cdot \mathrm{M}_{\mathrm{P} 2}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{22}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left[\frac{3}{6} \cdot\left(2 \cdot 1.2 \cdot \frac{69}{95}-1.2 \cdot \frac{9}{19}\right)+\frac{2}{6} \cdot\left(2 \cdot 1.2 \cdot \frac{69}{95}-1.2 \cdot \frac{9}{19}\right)\right]=\frac{93}{95} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &\delta_{33}=\int \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{ost} 3} \cdot \mathrm{M}_{\mathrm{P} 3}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{33}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left[\begin{array}{l} \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2+\frac{2}{6} \cdot\left(2 \cdot 2 \cdot 2+2 \cdot \frac{36}{19} \cdot 4+\frac{36}{19} \cdot 2+4 \cdot 2\right) \ldots \\ +\frac{5}{6} \cdot\left(2 \cdot 4 \cdot \frac{36}{19}-4 \cdot \frac{40}{19}\right) \end{array}\right]=\frac{1136}{57} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &\delta_{12}=\int \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{ost} 1} \cdot \mathrm{M}_{\mathrm{P} 2}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{12}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left[\frac{3}{6} \cdot\left(-2 \cdot 1.2 \cdot \frac{39}{190}+1.2 \cdot \frac{15}{38}\right)-\frac{2}{6} \cdot\left(2 \cdot 1.2 \cdot \frac{39}{190}+1.2 \cdot \frac{23}{38}\right)\right]=-\frac{79}{190} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \quad \delta_{21}=\delta_{12} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &\delta_{13}=\int \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{ost} 3} \cdot \mathrm{M}_{\mathrm{P} 1}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{13}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left[\frac{5}{6} \cdot\left(2 \cdot 1 \cdot \frac{40}{19}-1 \cdot \frac{36}{19}\right)\right]=\frac{110}{57} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \quad \delta_{31}=\delta_{13} \\ &\delta_{23}=\int \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{Ost} 3} \cdot \mathrm{M}_{\mathrm{P} 2}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{23}=\frac{1}{\mathrm{EI}}\left[\frac{3}{6} \cdot\left(-2 \cdot 1.2 \cdot \frac{48}{95}+1 \cdot 2 \cdot \frac{36}{19}\right)-\frac{2}{6} \cdot\left(2 \cdot 1.2 \cdot \frac{48}{95}+1.2 \cdot \frac{40}{19}\right)\right]=-\frac{68}{95} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \quad \delta_{32}=\delta_{23} \end{aligned} $$ Je pose \( \mathrm{m}=100 \mathrm{~kg} \quad \mathrm{~m}_1=1 \mathrm{~m} \quad \mathrm{~m}_2=1 \mathrm{~m} \quad \mathrm{~m}_3=2.5 \mathrm{~m} \)
Nous cherchons les racines de l'équation
$$ \left|\left(\begin{array}{ccc} \mathrm{m}_1 \cdot \delta_{11}-\frac{1}{\omega^2} & \mathrm{~m}_2 \cdot \delta_{12} & \mathrm{~m}_3 \cdot \delta_{13} \\ \mathrm{~m}_1 \cdot \delta_{21} & \mathrm{~m}_2 \cdot \delta_{22}-\frac{1}{\omega^2} & \mathrm{~m}_3 \cdot \delta_{23} \\ \mathrm{~m}_1 \cdot \delta_{31} & \mathrm{~m}_2 \cdot \delta_{32} & \mathrm{~m}_3 \cdot \delta_{33}-\frac{1}{\omega^2} \end{array}\right)\right|=0 $$ (on multiplie les deux côtés par El/m) en posant \( \quad \mathrm{x}=\frac{1}{\omega^2} \frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}} \)\( \left[\begin{array}{ccc} 1 \cdot \frac{77}{76}-x & 1 \cdot\left(-\frac{79}{190}\right) & \frac{5}{2} \cdot \frac{110}{57} \\ 1 \cdot\left(-\frac{79}{190}\right) & 1 \cdot \frac{93}{95}-x & \frac{5}{2}\left(\frac{68}{95}\right) \\ 1 \cdot \frac{110}{57} & 1 \cdot\left(\frac{68}{95}\right) & \frac{5}{2} \cdot \frac{1136}{57}-x \end{array}\right]=0 \)
\( \left[\begin{array}{llc} \frac{77}{76}-\mathrm{x} & -\frac{79}{190} & \frac{275}{57} \\ -\frac{79}{190} & \frac{93}{95}-\mathrm{x} & -\frac{34}{19} \\ \frac{110}{57} & -\frac{68}{95} & \frac{2840}{57}-\mathrm{x} \end{array}\right]=0 \)
Ensuite, nous devons utiliser la méthode de Sarrus pour calculer le déterminant de la matrice 3x3 ci-dessus et le simplifier en une forme polynomiale de degré 3 (comme indiqué ci-dessous). Il est préférable d'avoir un programme qui peut le simplifier pour nous, comme Mathcad par exemple.
\( -1 \cdot x^3+51.8167 \cdot x^2-89.4833 \cdot x+33.2632=0 \)
Racines de l'équation $$ \mathrm{x}_1=0.537 \quad \mathrm{x}_2=1.238 \quad \mathrm{x}_3=50.042 $$ parce que \( \mathrm{x}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}} \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} \)
Fréquences propres de vibration
$$ \begin{aligned} &\omega_1=\frac{1}{\sqrt{x_3}}=0.14136 \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} \\ &\omega_2=\frac{1}{\sqrt{x_2}}=0.899 \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} \\ &\omega_3=\frac{1}{\sqrt{x_1}}=1.3647 \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} \end{aligned} $$ Rigidité à la flexion $$ \begin{aligned} &\text{Pour } \quad I=2140 \cdot 10^{-8} \mathrm{~m}^4 \quad \text{et module d'Young pour l'acier } \quad E=200 \cdot 10^9 \mathrm{~Pa} \\ &\mathrm{EI}=\mathrm{E} \cdot \mathrm{I}=4280000.000 \mathrm{Nm}^2 \quad \mathrm{~m}=100 \quad \mathrm{~kg} \\ &\omega_{1}=0.14136 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}=29.245 \quad \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} \\ &\omega_{2}=0.899 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}=185.939 \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} \\ &\omega_{3}=1.365 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}=282.33 \quad \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} \end{aligned} $$
Détermination de la forme des vibrations $$ \begin{aligned} &\left(\mathrm{m}_1 \cdot \delta_{11}-\mathrm{x}\right) \cdot \mathrm{A}_{11}+\mathrm{m}_2 \cdot \delta_{12} \cdot \mathrm{A}_{21}+\mathrm{m}_3 \cdot \delta_{13} \cdot \mathrm{A}_{31}=0 \\ &\mathrm{~m}_1 \cdot \delta_{12} \cdot \mathrm{A}_{11}+\left(\mathrm{m}_2 \cdot \delta_{22}-\mathrm{x}\right) \cdot \mathrm{A}_{21}+\mathrm{m}_3 \cdot \delta_{23} \cdot \mathrm{A}_{31}=0 \\ &\mathrm{~m}_1 \cdot \delta_{31} \cdot \mathrm{A}_{11}+\mathrm{m}_2 \cdot \delta_{32} \cdot \mathrm{A}_{21}+\left(\mathrm{m}_3 \cdot \delta_{33}-\mathrm{x}\right) \cdot \mathrm{A}_{31}=0 \end{aligned} $$
Nous résolvons ce système d'équations trois fois, une fois en remplaçant "x" par "x1", une fois par "x2", et une fois par "x3".
Après avoir substitué x, nous avons un système de 3 équations à trois inconnues A11, A21, A31. Ce système a toujours une infinité de solutions,
nous devons donc montrer une solution exemplaire. C'est-à-dire, nous supposons l'une des inconnues avec une valeur égale à 1, et cela nous donne un système de 3 équations à deux inconnues, où après avoir résolu les deux premières équations, nous calculons les deux inconnues restantes.
pour \( \quad \mathrm{x}=\mathrm{x}_1=0.537 \quad \text{j'assume } \quad \mathrm{A}_{11}=1 \)
$$ \begin{aligned} &0.476+0.416 \mathrm{~A}_{21}+4.825 \cdot \mathrm{A}_{31}=0 \\ &-0.416+0.442 \mathrm{~A}_{21}-1.7895 \cdot \mathrm{A}_{31}=0 \\ &1.9298-0.716 \cdot \mathrm{A}_{21}+49.288 \cdot \mathrm{A}_{31}=0 \end{aligned} $$ Je résous le système des deux premières équations
$$ \begin{aligned} &\mathrm{A}_{21}=0.831 \\ &\mathrm{~A}_{31}=-0.027 \end{aligned} $$ Et la forme des vibrations
pour \( \quad \mathrm{x}=\mathrm{x}_2=1.238 \quad \text{j'assume } \quad \mathrm{A}_{12}=1 \)
$$ \begin{aligned} &-0.225-0.416 \cdot \mathrm{A}_{22}+4.825 \cdot \mathrm{A}_{32}=0 \\ &-0.416+0.442 \mathrm{~A}_{22}-1.7895 \cdot \mathrm{A}_{32}=0 \\ &1.9298-0.716 \cdot \mathrm{A}_{22}+49.288 \cdot \mathrm{A}_{32}=0 \end{aligned} $$ Je résous le système des deux premières équations
$$ \begin{aligned} &\mathrm{A}_{22}=0.425 \\ &\mathrm{~A}_{32}=-0.008 \end{aligned} $$ Et la forme des vibrations
pour \( \quad \mathrm{x}=\mathrm{x}_3=50.042 \quad \text{j'assume } \quad \mathrm{A}_{13}=1 \)
$$ \begin{aligned} &-0.525-0.416 \cdot \mathrm{A}_{23}+4.825 \cdot \mathrm{A}_{33}=0 \\ &-0.416+0.442 \mathrm{~A}_{23}-1.7895 \cdot \mathrm{A}_{33}=0 \\ &1.9298-0.716 \cdot \mathrm{A}_{23}+49.288 \cdot \mathrm{A}_{33}=0 \end{aligned} $$ Je résous le système des deux premières équations
$$ \begin{aligned} &\mathrm{A}_{23}=0.429 \\ &\mathrm{~A}_{33}=-0.009 \end{aligned} $$ Et la forme des vibrations
&-0,416-0,259 \cdot \mathrm{A}_{22}-1,7895 \cdot \mathrm{A}_{32}=0 \\ &1,9298-0,716 \cdot \mathrm{A}_{22}+48,587 \cdot \mathrm{A}_{32}=0 \end{aligned} $$ Je résous le système des deux premières équations
$$ \begin{aligned} &\mathrm{A}_{22}=-1,208 \\ &\mathrm{A}_{32}=-0,0575 \end{aligned} $$ Deuxième forme de vibration
pour \( \quad \mathrm{x}=\mathrm{x}_3=50,042 \quad j'assume \quad \mathrm{A}_{13}=1 \)
$$ \begin{gathered} -49,0286-0,416 \cdot \mathrm{A}_{23}+4,825 \cdot \mathrm{A}_{33}=0 \\ -0,416-49,063 \cdot \mathrm{A}_{23}-1,7895 \cdot \mathrm{A}_{33}=0 \\ 1,9298-0,716 \cdot \mathrm{A}_{23}-0,217 \cdot \mathrm{A}_{33}=0 \end{gathered} $$ Je résous le système des deux premières équations
$$ \begin{aligned} &\mathrm{A}_{23}=-0,378 \\ &\mathrm{A}_{33}=10,130 \end{aligned} $$ Troisième forme de vibration
Vérification des conditions d'orthogonalité
\begin{aligned} &m_1 \cdot \mathrm{A}_{11} \cdot \mathrm{A}_{12}+m_2 \cdot \mathrm{A}_{21} \cdot \mathrm{A}_{22}+m_3 \cdot \mathrm{A}_{31} \cdot \mathrm{A}_{32}=0 \\ &~m_1 \cdot \mathrm{A}_{12} \cdot \mathrm{A}_{13}+m_2 \cdot \mathrm{A}_{22} \cdot \mathrm{A}_{23}+m_3 \cdot \mathrm{A}_{32} \cdot \mathrm{A}_{33}=0 \\ &~m_1 \cdot \mathrm{A}_{11} \cdot \mathrm{A}_{13}+m_2 \cdot \mathrm{A}_{21} \cdot \mathrm{A}_{23}+m_3 \cdot \mathrm{A}_{31} \cdot \mathrm{A}_{33}=0 \\ \end{aligned}
\begin{aligned} &1 \cdot 1 \cdot m+1 ~m \cdot 0,831 \cdot(-1,208)+2,5 ~m \cdot(-0,027) \cdot(-0,0575) \rightarrow 0,00003 ~m \sim 0 \\ &1 \cdot 1 \cdot m+1 ~m \cdot 0,831 \cdot(-1,208)+2,5 ~m \cdot(-0,027) \cdot(-0,0575) \rightarrow 0,00003 ~m \sim 0 \\ &1 \cdot 1 \cdot m+1 ~m \cdot 0,831 \cdot(-0,378)+2,5 ~m \cdot(-0,027) \cdot 10,1297 \rightarrow 0,00213 ~m \sim 0 \end{aligned}
la vérification donne un résultat positif
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