Stopień statycznej niewyznaczalności SSN=r−3−p+3⋅a gdzie :
r - reakcje
p - przeguby
a - obwody zamknięte

SSN =3 −3 −2 +3 ⋅1 =1
Liczba stopni swobody dynamicznej
LSSD =3  m1 =100 𝑘⁢𝑔 m2 =100 𝑘⁢𝑔 m3 =250 𝑘⁢𝑔
przyjmując
m =100⁢ kg
𝑚1 =𝑚,𝑚2 =𝑚,𝑚3 =2.5⁢𝑚

Ramę rozwiążemy METODĄ SIŁ.
Układ podstawowy metody sił

Wspólny stan jednostkowy

Reakcje
Σ⁢MA=01⋅2−1⋅2−VB⋅5=0 VB=0𝛿11=1EI⋅(13⁢2⋅2⋅2+2⋅5⋅2+13⁢2⋅2⋅2)=763⋅1EI Teraz równolegle robimy stan P dla wszystkich przypadków obciążania, obliczamy całkowanie δ1p osobno dla każdego przypadku, obliczamy x1 (rozwiązujemy równanie kanoniczne) i rysujemy wykresy ostateczne.


Delty dynamiczne z twierdzenia redukcyjnego 𝛿11=∫MOst⁢1⋅MP⁢1EIdS𝛿11=1EI⋅[56⋅(2⋅1⋅2338−1⋅1538)+13⋅1⋅1⋅1]=7776⋅1EI 𝛿22=∫Most⁢2⋅MP⁢2EIdS𝛿22=1EI⋅[36⋅(2⋅1.2⋅6995−1.2⋅919)+26⋅(2⋅1.2⋅6995−1.2⋅919)]=9395⋅1EI 𝛿33=∫Most⁢3⋅MP⁢3EIdS𝛿33=1EI⋅[13⋅2⋅2⋅2+26⋅(2⋅2⋅2+2⋅3619⋅4+3619⋅2+4⋅2)…+56⋅(2⋅4⋅3619−4⋅4019)]=113657⋅1EI 𝛿12=∫Most⁢1⋅MP⁢2EIdS𝛿12=1EI⋅[36⋅(−2⋅1.2⋅39190+1.2⋅1538)−26⋅(2⋅1.2⋅39190+1.2⋅2338)]=−79190⋅1EI𝛿21=𝛿12 𝛿13=∫Most⁢3⋅MP⁢1EIdS𝛿13=1EI⋅[56⋅(2⋅1⋅4019−1⋅3619)]=11057⋅1EI𝛿31=𝛿13𝛿23=∫MOst⁢3⋅MP⁢2EIdS𝛿23=1EI⁢[36⋅(−2⋅1.2⋅4895+1⋅2⋅3619)−26⋅(2⋅1.2⋅4895+1.2⋅4019)]=−6895⋅1EI𝛿32=𝛿23 przyjmuję m =100⁢ kg  m1 =1⁢ m  m2 =1⁢ m  m3 =2.5⁢ m

Szukamy pierwiastków równania

∣⎛⎜⎝m1⋅𝛿11−1𝜔2 m2⋅𝛿12 m3⋅𝛿13 m1⋅𝛿21 m2⋅𝛿22−1𝜔2 m3⋅𝛿23 m1⋅𝛿31 m2⋅𝛿32 m3⋅𝛿33−1𝜔2⎞⎟⎠∣=0 (mnożymy obustronnie przez El/m ) podstawiamy x =1𝜔2⁢EIm

⎡⎢⎣1⋅7776−𝑥1⋅(−79190)52⋅110571⋅(−79190)1⋅9395−𝑥52⁢(6895)1⋅110571⋅(6895)52⋅113657−𝑥⎤⎥⎦ =0
⎡⎢⎣7776−x−7919027557−791909395−x−341911057−6895284057−x⎤⎥⎦ =0
Następnie należy metodą Sarrusa obliczyć wyznacznik z powyższej macierzy 3x3 i uprościć go do postaci wielomianu 3-go stopnia (jak poniżej). Najlepiej jeśli mamy do dyspozycji jakiś program, który może nam to uprościć, np. Mathcad.
−1 ⋅𝑥3 +51.8167 ⋅𝑥2 −89.4833 ⋅𝑥 +33.2632 =0
Pierwiastki równania x1=0.537x2=1.238x3=50.042 ponieważ x =1𝜔2⁢ EI m 𝜔 =1√x ⋅√EIm
Częstości drgań własnych
𝜔1=1√𝑥3=0.14136⋅√ EI m𝜔2=1√𝑥2=0.899⋅√𝐸⁢𝐼 m𝜔3=1√𝑥1=1.3647⋅√𝐸⁢𝐼 m Sztywność na zginanie  Dla I=2140⋅10−8⁢ m4 i modułu Younga dla stali E=200⋅109⁢ PaEI=E⋅I=4280000.000⁢Nm2 m=100 kg𝜔1=0.14136⁢√EIm=29.245rads𝜔2=0.899⁢√EIm=185.939⁢rads𝜔3=1.365⁢√EIm=282.33rads
Wyznaczenie postaci drgań (m1⋅𝛿11−x)⋅A11+m2⋅𝛿12⋅A21+m3⋅𝛿13⋅A31=0 m1⋅𝛿12⋅A11+(m2⋅𝛿22−x)⋅A21+m3⋅𝛿23⋅A31=0 m1⋅𝛿31⋅A11+m2⋅𝛿32⋅A21+(m3⋅𝛿33−x)⋅A31=0
Taki układ równań jak powyżej rozwiążemy trzy razy, albowiem raz za "x" podstawimy "x1", raz "x2" i raz "x3".
Po podstawieniu x, mamy układ 3 równań z trzema niewiadomymi A11, A21, A31. Ten układ równań zawsze ma nieskończenie wiele rozwiązań,
musimy więc pokazać jedno przykładowe rozwiązanie. To znaczy założymy za jedną z niewiadomych wartość równą 1, i zostanie nam układ 3 równań z dwoma niewiadomymi, gdzie jak rozwiążemy układ dwóch pierwszych równań to obliczymy pozostałe dwie niewiadome.

dla x =x1 =0.537 𝑧⁢𝑎⁢𝑘⁢ł⁢𝑎⁢𝑑⁢𝑎⁢𝑚 A11 =1
0.476+0.416⁢ A21+4.825⋅A31=0−0.416+0.442⁢ A21−1.7895⋅A31=01.9298−0.716⋅A21+49.288⋅A31=0 Rozwiązuję układ dwóch pierwszych równań
A21=0.831 A31=−0.027 I postać drgań


dla x =x2 =1.238 𝑧⁢𝑎⁢𝑘⁢ł⁢𝑎⁢𝑑⁢𝑎⁢𝑚 A12 =1
−0.225−0.416⋅A22+4.825⋅A32=0−0.416−0.259⋅A22−1.7895⋅A32=01.9298−0.716⋅A22+48.587⋅A32=0 Rozwiązuję układ dwóch pierwszych równań
A22=−1.208 A32=−0.0575 II postać drgań



dla x =x3 =50.042 𝑧⁢𝑎⁢𝑘⁢ł⁢𝑎⁢𝑑⁢𝑎⁢𝑚 A13 =1
−49.0286−0.416⋅A23+4.825⋅A33=0−0.416−49.063⋅A23−1.7895⋅A33=01.9298−0.716⋅A23−0.217⋅A33=0 Rozwiązuję układ dwóch pierwszych równań
A23=−0.378 A33=10.130 III postać drgań


Sprawdzenie warunków ortogonalności
m1⋅A11⋅A12+m2⋅A21⋅A22+m3⋅A31⋅A32=0 m1⋅A12⋅A13+m2⋅A22⋅A23+m3⋅A32⋅A33=0 m1⋅A11⋅A13+m2⋅A21⋅A23+m3⋅A31⋅A33=0
1⋅1⋅m+1⁢ m⋅0.831⋅(−1.208)+2.5⁢ m⋅(−0.027)⋅(−0.0575)→0.00003⁢ m∼01⋅1⋅m+1⁢ m⋅0.831⋅(−1.208)+2.5⁢ m⋅(−0.027)⋅(−0.0575)→0.00003⁢ m∼01⋅1⋅m+1⁢ m⋅0.831⋅(−0.378)+2.5⁢ m⋅(−0.027)⋅10.1297→0.00213⁢ m∼0
sprawdzenie daje pozytywny wynik