Przykład 1

Korzystając z interpolacji Hermite'a obliczyć ugięcie w punkcie \(x=8 \mathrm{~m}\) dla belki zdyskretyzowanej 3 elementami. Wektor węzlowych stopni swobody jest dany. $$ \mathrm{d}=\{0,0,-0.012,0.010,0.020,0,0,0\} $$

single-task-hero-img

Rozwiązanie

Zauważamy, że punkt dla którego mamy obliczyć ugięcie znajduje się w 3 elemencie belki, zapisujemy dla niego wektor węzłowych stopni swobody oraz obliczamy względne położenie punktu w elemencie:

\begin{aligned} & d_3=\left[\begin{array}{c} 0.02 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] \\ & x=1 \\ & L=4 \\ & \xi=\frac{x}{L}=0.25 \end{aligned}

Podstawiamy do wzorów na wielomiany Hermite'a:

\begin{aligned} & H_1=1-3 \cdot \xi^2+2 \cdot \xi^3=0.844 \\ & H_2=L \cdot\left(\xi-2 \cdot \xi^2+\xi^3\right)=0.563 \\ & H_3=3 \cdot \xi^2-2 \cdot \xi^3=0.156 \\ & H_4=L \cdot\left(\xi^3-\xi^2\right)=-0.188 \end{aligned}

Podstawiamy do wzoru na interpolacje Hermite'a

\begin{aligned} & u=H_1 \cdot 0.02+H_2 \cdot 0+H_3 \cdot 0+H_4 \cdot 0 \\ & u=H_1 \cdot 0.02=1.688 \cdot 10^{-2} \quad \mathrm{~m} \end{aligned}